שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - מרחב נורמי

א. תהי $\{x_n\}_{n=1}^k$ קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים $c > 0$ כך ש- לכל $\{\alpha_n\}_{n=1}^k \subset \mathbb{C}$ מתקיים: $$\|\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k\| \geq c(|\alpha_1| + \cdots + |\alpha_k|).$$ ב. יהי $A : B_1 \to B_2$ אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי $D(A) = B_1$). הוכיחו כי $\text{Im } A$ סגור אם ורק אם קיים $m > 0$ כך ש- $\|x\| \leq m \|Ax\|$ לכל $x \in B_1$.

רמז: לחלק א — הגדר נורמת $\ell^1$ על המרחב ממימד סופי ויישם שקילות נורמות. לחלק ב — שני הכיוונים נשענים על משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור.

פתרון: **א. קיום $c>0$ עם אי-שוויון נורמות:** נסמן $V = \text{Sp}\{x_1,\ldots,x_k\}$ — **מרחב נורמי ממימד סופי** עם הבסיס $\{x_n\}_{n=1}^k$. לכל $x = \sum_{n=1}^k \alpha_n x_n \in V$ נגדיר: $$\|x\|_1 = \sum_{n=1}^k |\alpha_n|$$ ביטוי זה מגדיר **נורמה** על $V$ (ראו (1) בראש סעיף 6.3 בספר). על-פי **משפט 6.7** (שקילות נורמות במרחב ממימד סופי), קיים $c > 0$ כך ש-$\|x\| \geq c\|x\|_1$ לכל $x \in V$, כלומר: $$\|\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k\| \geq c(|\alpha_1| + \cdots + |\alpha_k|)$$ וזה בדיוק מה שנדרש. $\blacksquare$ **ב. $\text{Im}\,A$ סגור $\iff$ קיים $m>0$ עם $\|Ax\| \geq \frac{1}{m}\|x\|$:** $\Rightarrow$: נניח שקיים $m>0$ כך ש-$\|Ax\| \geq \frac{1}{m}\|x\|$ לכל $x \in B_1$. אז $\|A^{-1}y\| \leq m\|y\|$ לכל $y \in \text{Im}\,A$, כלומר $A^{-1}: \text{Im}\,A \to B_1$ הוא **אופרטור חסום**. לפי שאלה 18 בפרק 7, $\text{Im}\,A$ **סגור** ב-$B_2$. $\Leftarrow$: נניח ש-$\text{Im}\,A$ סגור ב-$B_2$. אז $\text{Im}\,A$ הוא **מרחב בנך** (הערה ב' לאחר הגדרה 6.3). לפי **משפט 7.8**, $A: B_1 \to \text{Im}\,A$ חסום ולפי **משפט 7.9**, $A^{-1}: \text{Im}\,A \to B_1$ חסום, כלומר קיים $m>0$ כך ש-$\|A^{-1}y\| \leq \frac{1}{m}\|y\|$ לכל $y \in \text{Im}\,A$. נציב $y = Ax$ ונקבל $\|x\| \leq \frac{1}{m}\|Ax\|$, כלומר $\|Ax\| \geq m\|x\|$ לכל $x \in B_1$. $\blacksquare$