שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - מרחב מכפלה פנימית

א. האם התת-מרחב $M = \left\{f(t) \in L^2[1, \infty) : \int_1^\infty \frac{f(t)}{t^{3/4}} dt = 0\right\}$ סגור ב-$L^2[1, \infty)$? ב. יהי $A$ אופרטור ליארי במרחב בנך $B$ (שימו לב: לא תון מראש ש-$A$ חסום, כמו כן – לא תון מראש שתחום הגדרתו של $A$ הוא מרחב $B$ כולו). הוכיחו כי אם $\sigma(A) \cap C = \emptyset$ כלומר, אם קיים $\lambda \in \mathbb{C}$ כך ש-$(I - A)^{-1} \in \mathcal{L}(B)$ אז $A$ אופרטור סגור.

רמז: ב-2א: $M$ הוא האנך למרחב הנפרש ע"י פונקציה אחת (או גרעין פונקציונל חסום). ב-2ב: חסימות $(\lambda I-A)^{-1}$ מאפשרת לעבור לגבול ולהשתמש ביחידותו.

פתרון: **שאלה 2א:** נגדיר $g(t) = \frac{1}{t^{3/4}}$. נבדוק: $\int_1^\infty |g(t)|^2\,dt = \int_1^\infty t^{-3/2}\,dt < \infty$, לכן $g \in L_2[1,\infty)$. כעת $M = \{f \in L_2[1,\infty) : \langle f, g\rangle = 0\}$. אם $f_n \to f$ (בנורמה) ו-$f_n \in M$ לכל $n$, אז מ**רציפות המכפלה הפנימית** (תכונה 1.4 בסעיף 7): $$\langle f, g\rangle = \lim_{n\to\infty} \langle f_n, g\rangle = 0$$ לכן $f \in M$, משמע $M$ **תת-מרחב סגור**. דרך נוספת: $M$ הוא **גרעין של פונקציונל לינארי חסום** (הפונקציונל $f \mapsto \langle f,g\rangle$), ולכן $M$ סגור. עוד דרך: $M = (\text{Sp}\{g\})^\perp$ שהוא סגור. $\blacksquare$ --- **שאלה 2ב:** ניח $Ax_n \to y$ ו-$x_n \to x$. נוכיח ש-$Ax = y$ (כלומר, $A$ **אופרטור סגור**). מכך ש-$(\lambda I - A)^{-1} \in \mathcal{L}(B)$ הוא **חסום**, ומ-$Ax_n \to y$ נסיק $(\lambda I - A)x_n \to \lambda x - y$, לכן: $$x_n = (\lambda I - A)^{-1}(\lambda I - A)x_n \to (\lambda I - A)^{-1}(\lambda x - y)$$ לפי **יחידות הגבול**: $x = (\lambda I - A)^{-1}(\lambda x - y)$. מכאן $(\lambda I - A)x = \lambda x - y$, כלומר $Ax = y$. לכן $A$ **אופרטור סגור** (הגדרה 7.5). $\blacksquare$