שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - אופרטורים קומפקטיים

א. יהי $A$ אופרטור ליניארי במרחב הילברט מרוכב כך ש-$A^2$ קומפקטי וצמוד לעצמו. הוכיחו כי ל-$A$ יש ערך עצמי, ובדקו כי וקטורים עצמיים של $A$ השייכים לערכים עצמיים $\mu$ ו-$\lambda^2$ אורתוגוניים זה לזה כאשר $\lambda^2 \neq \mu^2$. ב. יהי $B$ מרחב בך $B = C[0,1]$, וקיים $A \in L(B, C[0,1])$ שלכל $u \in B$ שלכל $u \in B$ יחידה הפוכה $Au$ בעלת נגזרת רציפה ב-$[0,1]$. הוכיחו כי קיים קבוע $c > 0$ כך ש-$(Au)'(x) \leq c\|u\|$ לכל $x \in [0,1]$ ולכל $u \in B$.

רמז: בחלק א, בניית ע"ע של $A$ מע"ע של $A^2$ על ידי בדיקת $(Av \pm \lambda v)$; האורתוגונליות נובעת מכך שהם ע"ע של $A^2$ הצמוד לעצמו. בחלק ב, $DA$ סגור ומוגדר בכל $\mathbf{B}$, ולכן חסום ממשפט הגרף הסגור.

פתרון: **א. ל-$A$ יש ערך עצמי:** לפי **משפט 5.5**, ל-$A^2$ (קומפקטי וצמוד לעצמו) יש **ערכים עצמיים**. יהי $A^2 v = \lambda^2 v$ עבור $v \neq 0$, $\lambda \in \mathbb{C}$. אז: $$A(Av + \lambda v) = A^2 v + \lambda Av = \lambda^2 v + \lambda Av = \lambda(Av + \lambda v)$$ לכן: או ש-$Av + \lambda v \neq 0$ ואז $\lambda$ הוא **ע"ע של $A$**, או ש-$Av = -\lambda v$ ואז $-\lambda$ הוא **ע"ע של $A$**. בכל מקרה ל-$A$ יש ערך עצמי. $\blacksquare$ **אורתוגונליות:** יהיו $Av = \lambda v$, $Au = \mu u$ עם $\lambda^2 \neq \mu^2$. אז: $$A^2 v = \lambda^2 v, \quad A^2 u = \mu^2 u$$ הם **וקטורים עצמיים של $A^2$** השייכים לע"ע שונים. מכיוון ש-$A^2$ צמוד לעצמו, לפי **משפט 5.2** הם **אורתוגונליים**. $\blacksquare$ --- **ב. הוכחת חסימות:** אופרטור הגזירה $D$ במרחב $C[0,1]$ הוא **אופרטור סגור** (דוגמה א בסעיף 7.4). $A$ חסום, לכן אם $u_n \to u$ אז $Au_n \to Au$. נוכיח ש-$DA$ **סגור**: אם $u_n \to u$ ו-$DAu_n \to y$, אז $Au_n \to Au$ ו-$D(Au_n) \to y$, ולכן על פי הגדרה 7.5 של $D$ הסגור: $DAu = y$. כלומר $DA$ סגור. האופרטור $DA: \mathbf{B} \to C[0,1]$ מוגדר על **כל** $\mathbf{B}$ (כי $Au$ בעלת נגזרת רציפה לכל $u \in \mathbf{B}$). לפי **משפט הגרף הסגור 7.8**, $DA$ הוא **אופרטור חסום**. לכן: $$\|(Au)'(x)\| \leq \|DAu\| \leq \|DA\|\cdot\|u\|$$ נציב $c = \|DA\| > 0$ ונקבל $(Au)'(x) \leq c\|u\|$ לכל $x \in [0,1]$ ולכל $u \in \mathbf{B}$. $\blacksquare$