שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2013

קורס: אנליזה פונקציונלית

אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה

שנה: 2013

סמסטר: ב

נושאים: מרחב מכפלה פנימית, אופרטורים לינאריים, אופרטורים חסומים, נורמת אופרטור, הוכחה, מרחב בנך, מרחב נורמי, משפט בנך-שטינהאוס, סדרות, חסימות

רמת קושי: בינוני-קשה

א. יהיו $V$ מרחב מכפלה פנימית, $U$ מרחב לינארי ו-$T : V \to U$ אופרטור לינארי חד-חד-ערכי. לכל $x, y \in U$ נגדיר $\langle x,y \rangle_U = \langle Tx, Ty \rangle_V$. בדוק שביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב $U$, הוכח כי $T$ חסום כאשר מרחב $U$ מצויד במכפלה זו ומצא את $\|T\|$. ב. יהיו $(A_n) \subset L(B,Y)$ כאשר $B$ בנך מרחב, $Y$ מרחב נורמי. הראה כי סדרת קושי $\{A_n x\}_{x \in B}$ לכל $x \in B$ גוררת סדרה חסומה $\{A_n\}$.

רמז: בחלק א', השתמשו בתכונות של המכפלה הנתונה ושל $T$ כדי לאמת את תכונות המכפלה הפנימית החדשה; הנורמה המושרת היא המפתח לחישוב נורמת האופרטור. בחלק ב', היעזרו בעובדה שכל סדרת קושי היא חסומה והשתמשו במשפט בנך-שטיינהאוס.

פתרון: א. כדי לפתור את השאלה, נניח שהכוונה הייתה לאופרטור $T:U \to V$, כפי שמקובל בבניית מכפלות פנימיות מסוג זה. **בדיקת תכונות המכפלה הפנימית:** נגדיר $\langle x,y \rangle_U = \langle Tx, Ty \rangle_V$ לכל $x, y \in U$. נבדוק את האקסיומות: 1. **לינאריות ברכיב הראשון:** יהיו $x,y,z \in U$ וסקלר $\alpha$. בזכות הלינאריות של $T$ ושל המכפלה הפנימית ב-$V$, מתקיים: $\langle x+y, z \rangle_U = \langle T(x+y), Tz \rangle_V = \langle Tx+Ty, Tz \rangle_V = \langle Tx, Tz \rangle_V + \langle Ty, Tz \rangle_V = \langle x, z \rangle_U + \langle y, z \rangle_U$. $\langle \alpha x, y \rangle_U = \langle T(\alpha x), Ty \rangle_V = \langle \alpha Tx, Ty \rangle_V = \alpha \langle Tx, Ty \rangle_V = \alpha \langle x, y \rangle_U$. 2. **סימטריה צמודה (Hermitian):** $\langle y, x \rangle_U = \langle Ty, Tx \rangle_V = \overline{\langle Tx, Ty \rangle_V} = \overline{\langle x, y \rangle_U}$. 3. **אי-שליליות וחיובוּת מוחלטת:** $\langle x, x \rangle_U = \langle Tx, Tx \rangle_V = \|Tx\|_V^2 \ge 0$. שוויון לאפס מתקיים אם ורק אם $\|Tx\|_V = 0$, כלומר $Tx=0_V$. מכיוון שהאופרטור $T$ **חד-חד-ערכי**, $Tx=0_V$ גורר $x=0_U$. לכן $\langle x, x \rangle_U = 0$ אם ורק אם $x=0_U$. מכאן ש-$\langle \cdot, \cdot \rangle_U$ היא אכן **מכפלה פנימית** על $U$. $\blacksquare$ **הוכחת חסימות ומציאת נורמה:** הנורמה המושרת על ידי מכפלה פנימית זו במרחב $U$ היא: $\|x\|_U = \sqrt{\langle x, x \rangle_U} = \sqrt{\langle Tx, Tx \rangle_V} = \sqrt{\|Tx\|_V^2} = \|Tx\|_V$. כעת נראה שהאופרטור $T:U \to V$ הוא **אופרטור חסום**. עלינו להראות שקיים $M>0$ כך שלכל $x \in U$ מתקיים $\|Tx\|_V \le M\|x\|_U$. לפי הגדרת הנורמה ב-$U$ שחישבנו, $\|x\|_U = \|Tx\|_V$. לכן, אי-השוויון $\|Tx\|_V \le M\|Tx\|_V$ מתקיים עבור $M=1$ (ולכל $M \ge 1$). מכאן ש-$T$ חסום. $\blacksquare$ **נורמת האופרטור** $T$ מוגדרת על ידי: $\|T\| = \sup_{x \in U, x \neq 0} \frac{\|Tx\|_V}{\|x\|_U}$. נציב את הביטוי לנורמה ב-$U$: $\|T\| = \sup_{x \in U, x \neq 0} \frac{\|Tx\|_V}{\|Tx\|_V} = 1$ (בהנחה ש-$U$ אינו מרחב האפס). לכן, נורמת האופרטור היא $\|T\|=1$. $\blacksquare$ ב. המטרה היא להראות שסדרת האופרטורים $(A_n)$ חסומה, כלומר $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|A_n\| < \infty$. יהי $x \in B$ וקטור כלשהו. נתון שהסדרה $\{A_n x\}_{n=1}^\infty$ היא **סדרת קושי** במרחב הנורמי $Y$. אחת התכונות הבסיסיות של סדרות קושי במרחבים מטריים (ובפרט נורמיים) היא ש**כל סדרת קושי היא חסומה**. לכן, לכל $x \in B$, קיימת קבוע $M_x > 0$ (שתלוי ב-$x$) כך שלכל $n \in \mathbb{N}$ מתקיים $\|A_n x\|_Y \le M_x$. תנאי זה, $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|A_n x\|_Y < \infty$ לכל $x \in B$, הוא בדיוק תנאי החסימות הנקודתית של משפחת האופרטורים $\{A_n\}$. כעת נשתמש ב**משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה)**. נבדוק שתנאי המשפט מתקיימים: 1. $B$ הוא **מרחב בנך** (נתון). 2. $Y$ הוא מרחב נורמי (נתון). 3. $\{A_n\}_{n=1}^\infty \subset L(B,Y)$ היא משפחה של אופרטורים לינאריים חסומים (נתון). 4. המשפחה חסומה נקודתית, כפי שהראינו לעיל: $\forall x \in B, \sup_n \|A_n x\| < \infty$. מכיוון שכל תנאי המשפט מתקיימים, מסקנת המשפט היא שמשפחת האופרטורים חסומה במידה שווה. כלומר, סדרת הנורמות $\{\|A_n\|\}_{n=1}^\infty$ היא חסומה: $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|A_n\| < \infty$. זה מוכיח שהסדרה $\{A_n\}$ היא סדרה חסומה. $\blacksquare$

א. יהיו

V

מרחב מכפלה פנימית,

U

מרחב לינארי ו-

T : V \to U

אופרטור לינארי חד-חד-ערכי. לכל

x, y \in U

נגדיר

⟨ x, y ⟩_{U} = ⟨ T x, T y ⟩_{V}

. בדוק שביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

U

, הוכח כי

T

חסום כאשר מרחב

U

מצויד במכפלה זו ומצא את

∥ T ∥

.

ב. יהיו

(A_{n}) \subset L (B, Y)

כאשר

B

בנך מרחב,

Y

מרחב נורמי. הראה כי סדרת קושי

{A_{n} x}_{x \in B}

לכל

x \in B

גוררת סדרה חסומה

{A_{n}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2013סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורהוכחהמרחב בנךמרחב נורמימשפט בנך-שטינהאוססדרותחסימות

בחלק א', השתמשו בתכונות של המכפלה הנתונה ושל

T

כדי לאמת את תכונות המכפלה הפנימית החדשה; הנורמה המושרת היא המפתח לחישוב נורמת האופרטור. בחלק ב', היעזרו בעובדה שכל סדרת קושי היא חסומה והשתמשו במשפט בנך-שטיינהאוס.

א. כדי לפתור את השאלה, נניח שהכוונה הייתה לאופרטור

T : U \to V

, כפי שמקובל בבניית מכפלות פנימיות מסוג זה.

בדיקת תכונות המכפלה הפנימית:
נגדיר

⟨ x, y ⟩_{U} = ⟨ T x, T y ⟩_{V}

לכל

x, y \in U

. נבדוק את האקסיומות:
1. לינאריות ברכיב הראשון: יהיו

x, y, z \in U

וסקלר

α

. בזכות הלינאריות של

T

ושל המכפלה הפנימית ב-

V

, מתקיים:

⟨ x + y, z ⟩_{U} = ⟨ T (x + y), T z ⟩_{V} = ⟨ T x + T y, T z ⟩_{V} = ⟨ T x, T z ⟩_{V} + ⟨ T y, T z ⟩_{V} = ⟨ x, z ⟩_{U} + ⟨ y, z ⟩_{U}

⟨ α x, y ⟩_{U} = ⟨ T (α x), T y ⟩_{V} = ⟨ α T x, T y ⟩_{V} = α ⟨ T x, T y ⟩_{V} = α ⟨ x, y ⟩_{U}

.
2. סימטריה צמודה (Hermitian):

⟨ y, x ⟩_{U} = ⟨ T y, T x ⟩_{V} = \overline{⟨ T x, T y ⟩_{V}} = \overline{⟨ x, y ⟩_{U}}

.
3. אי-שליליות וחיובוּת מוחלטת:

⟨ x, x ⟩_{U} = ⟨ T x, T x ⟩_{V} = ∥ T x ∥_{V}^{2} \geq 0

.
שוויון לאפס מתקיים אם ורק אם

∥ T x ∥_{V} = 0

, כלומר

T x = 0_{V}

. מכיוון שהאופרטור

T

חד-חד-ערכי,

T x = 0_{V}

גורר

x = 0_{U}

. לכן

⟨ x, x ⟩_{U} = 0

אם ורק אם

x = 0_{U}

.
מכאן ש-

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{U}

היא אכן מכפלה פנימית על

U

■

הוכחת חסימות ומציאת נורמה:
הנורמה המושרת על ידי מכפלה פנימית זו במרחב

U

היא:

∥ x ∥_{U} = ⟨ x, x ⟩_{U} = ⟨ T x, T x ⟩_{V} = ∥ T x ∥_{V}^{2} = ∥ T x ∥_{V}

.

כעת נראה שהאופרטור

T : U \to V

הוא אופרטור חסום. עלינו להראות שקיים

M > 0

כך שלכל

x \in U

מתקיים

∥ T x ∥_{V} \leq M ∥ x ∥_{U}

.
לפי הגדרת הנורמה ב-

U

שחישבנו,

∥ x ∥_{U} = ∥ T x ∥_{V}

. לכן, אי-השוויון

∥ T x ∥_{V} \leq M ∥ T x ∥_{V}

מתקיים עבור

M = 1

(ולכל

M \geq 1

). מכאן ש-

T

חסום.

■

נורמת האופרטור

T

מוגדרת על ידי:

∥ T ∥ = sup_{x \in U, x \neq = 0} \frac{∥ T x ∥ _{V}}{∥ x ∥ _{U}}

.
נציב את הביטוי לנורמה ב-

U

∥ T ∥ = sup_{x \in U, x \neq = 0} \frac{∥ T x ∥ _{V}}{∥ T x ∥ _{V}} = 1

(בהנחה ש-

U

אינו מרחב האפס).
לכן, נורמת האופרטור היא

∥ T ∥ = 1

■

ב. המטרה היא להראות שסדרת האופרטורים

(A_{n})

חסומה, כלומר

sup_{n \in N} ∥ A_{n} ∥ < \infty

.

יהי

x \in B

וקטור כלשהו. נתון שהסדרה

{A_{n} x}_{n = 1}^{\infty}

היא סדרת קושי במרחב הנורמי

Y

. אחת התכונות הבסיסיות של סדרות קושי במרחבים מטריים (ובפרט נורמיים) היא שכל סדרת קושי היא חסומה. לכן, לכל

x \in B

, קיימת קבוע

M_{x} > 0

(שתלוי ב-

x

) כך שלכל

n \in N

מתקיים

∥ A_{n} x ∥_{Y} \leq M_{x}

.

תנאי זה,

sup_{n \in N} ∥ A_{n} x ∥_{Y} < \infty

לכל

x \in B

, הוא בדיוק תנאי החסימות הנקודתית של משפחת האופרטורים

{A_{n}}

.

כעת נשתמש במשפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה). נבדוק שתנאי המשפט מתקיימים:
1.

B

הוא מרחב בנך (נתון).
2.

Y

הוא מרחב נורמי (נתון).
3.

{A_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset L (B, Y)

היא משפחה של אופרטורים לינאריים חסומים (נתון).
4. המשפחה חסומה נקודתית, כפי שהראינו לעיל:

\forall x \in B, sup_{n} ∥ A_{n} x ∥ < \infty

.

מכיוון שכל תנאי המשפט מתקיימים, מסקנת המשפט היא שמשפחת האופרטורים חסומה במידה שווה. כלומר, סדרת הנורמות

{∥ A_{n} ∥}_{n = 1}^{\infty}

היא חסומה:

sup_{n \in N} ∥ A_{n} ∥ < \infty

.

זה מוכיח שהסדרה

{A_{n}}

היא סדרה חסומה.

■

שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2013 - מרחב מכפלה פנימית