שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2015 - מרחב הילברט

א. במרחב $L^2[-\pi, \pi]$ נגדיר אופרטור $K$ על-ידי: $$(Kf)(t) = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(t-s) f(s) ds.$$ בדוק כי $K$ צמוד לעצמו ובעל דרגה סופית. האם $K$ חיובי? מצא את ההצגה הספקטרלית של $K$. ב. יהי $L$ תת-מרחב של מרחב הילברט $H$. הוכח כי $\overline{L} = H$ אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: אם $y \perp L$ אז $y = 0$.

רמז: לסעיף א: כותבים $\cos(t-s)$ כסכום מכפלות ומזהים את $K$ כאופרטור דרגה סופית; הע"ע נמצא על ידי חישוב דטרמיננטה. לסעיף ב: משתמשים ב**השלמה האורתוגונלית** ובכך שסגירות שווה למרחב כולו אם ורק אם האורתוגונל הוא טריוויאלי.

פתרון: **סעיף א:** **פירוק האופרטור:** נשתמש בזהות $\cos(t-s) = \cos t \cos s + \sin t \sin s$. נגדיר $\varphi_1(t) = \cos t$, $\varphi_2(t) = \sin t$. אז: $$(Kf)(t) = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(t-s)f(s)\,ds = \langle f, \varphi_1 \rangle \varphi_1 + \langle f, \varphi_2 \rangle \varphi_2.$$ **בעל דרגה סופית:** $\operatorname{Im} K = \operatorname{Sp}\{\varphi_1, \varphi_2\}$ (דוגמה ג' בסעיף 4.1). **צמוד לעצמו:** נובע ישירות מהמבנה (אופרטור מסוג זה הוא תמיד הרמיטי). **חיובי:** $\langle Kf, f \rangle = |\langle f, \varphi_1 \rangle|^2 + |\langle f, \varphi_2 \rangle|^2 \geq 0$, ולכן $K$ **חיובי**. **הצגה ספקטרלית:** לפי משפט 3.16, $\lambda \neq 0$ הוא **ערך עצמי** אם ורק אם $\det\!\left(\delta_{ik} - \tfrac{1}{\lambda}\langle \varphi_k, \varphi_i \rangle\right) \neq 0$ אינו מתקיים, כלומר: $$\det\!\left(\delta_{ik} - \tfrac{1}{\lambda}\langle \varphi_k, \varphi_i \rangle\right) = 0.$$ חישוב ישיר נותן $\det = \left(1 - \pi/\lambda\right)^2$, ולכן הע"ע היחיד השונה מ-0 הוא $\lambda = \pi$, והמרחב העצמי הוא $\operatorname{Sp}\{\varphi_1, \varphi_2\}$. לאחר נרמול: $$v_1 = \frac{\cos t}{\sqrt{\pi}}, \quad v_2 = \frac{\sin t}{\sqrt{\pi}}.$$ **ההצגה הספקטרלית:** $$Kf = \pi \langle f, v_1 \rangle v_1 + \pi \langle f, v_2 \rangle v_2.$$ **סעיף ב:** **כיוון ראשון ($\overline{L} = H \Rightarrow$ התנאי):** נניח $\overline{L} = H$ ויהי $y \perp L$. כיוון ש-$\overline{L} = H$, קיימת סדרה $\{x_n\} \subseteq L$ עם $x_n \to y$. לכן: $$\langle y, y \rangle = \lim_n \langle x_n, y \rangle = 0,$$ ומכאן $y = 0$. **כיוון שני ($\overline{L} \neq H \Rightarrow$ קיים $y \perp L$, $y \neq 0$):** אם $\overline{L} \neq H$, אז לפי משפט 1.18: $\overline{L} \oplus \overline{L}^\perp = H$ ו-$\overline{L}^\perp \neq \{0\}$, כלומר קיים $y \in \overline{L}^\perp \subseteq L^\perp$ עם $y \neq 0$, כלומר $y \perp L$ אך $y \neq 0$. $\blacksquare$