שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - פונקציונל לינארי

א. יהי $\delta_t$ פונקציונל במרחב $C[a,b]$ המוגדר בדוגמה בסעיף 6.4: בהינתן $t \in [a,b]$ לכל $f \in C[a,b]$, $\delta_t ( f ) = f(t)$. הוכיחו כי לכל $t \in [a,b)$ הנוסחה $F(f) = \lim_{x \to t} f(x)$ מגדירה פונקציונל לינארי שהוא הרחבה שומרת נורמה של $\delta_t$ לתת-מרחב $V$ של המרחב $L^\infty[a,b]$, המורכב מכל הפונקציות של $L^\infty[a,b]$ עבורן הגבול הנ"ל קיים. ב. יהיו $A, B : H \to H$ אופרטורים לינאריים חסומים במרחב הילברט (באמירה זו טמונה ההנחה שתחום הגדרתם הוא המרחב כולו). הוכיחו או הפריכו על-ידי דוגמה נגדית את הטענה הבאה: אם $AB$ אופרטור הפיך אז גם $BA$ הפיך.

רמז: להרחבה — הגבול החד-צדדי מחליף את ערך הפונקציה; לדוגמה הנגדית — אופרטורי הזזה ימינה ושמאלה ב-$\ell^2$ מספקים $S_\ell S_r = I$ אך $S_r S_\ell \neq I$.

פתרון: **א. הרחבה שומרת נורמה:** $F$ מוגדר היטב כי הגבול $\lim_{x\to t^-} f(x)$ קיים לכל $f \in V$ (לפי הגדרת $V$). עבור $f \in C[a,b]$ מתקיים: $$F(f) = \lim_{x\to t^-} f(x) = f(t) = \delta_t(f)$$ ולכן $F$ היא **הרחבה** של $\delta_t$ ל-$V$. **לינאריות** $F$ נובעת מיד מחשבון גבולות. לנורמה: $|F(f)| = \left|\lim_{x\to t^-} f(x)\right| \leq \operatorname{esssup}_{[a,b]}|f| = \|f\|_\infty$, ולכן $\|F\| \leq 1$. מאידך, $F(1) = 1$ ו-$\|1\|_\infty = 1$, ולכן $\|F\| = 1 = \|\delta_t\|$, כלומר $F$ היא **הרחבה שומרת נורמה**. (הסבר לאי-השוויון: אם לא מתקיים, אז עבור $\varepsilon = |F(f)| - \operatorname{esssup}|f| > 0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x \in (t-\delta,t)$ מתקיים $|f(x)| > |F(f)| - \varepsilon = \operatorname{esssup}|f|$, סתירה.) $\blacksquare$ **ב. הטענה אינה נכונה — דוגמה נגדית:** נבחר **אופרטורי הזזה** $S_r, S_\ell$ ב-$\ell^2$: $$S_r(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\ldots) = (0,\xi_1,\xi_2,\ldots), \quad S_\ell(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\ldots) = (\xi_2,\xi_3,\ldots)$$ מהגדרתם נובע $S_\ell S_r = I$, ולכן $AB = S_\ell S_r$ **הפיך** (שווה לזהות). אולם: $$S_r S_\ell(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\ldots) = (0,\xi_2,\xi_3,\ldots)$$ ולכן $BA = S_r S_\ell$ היא הטלה על $\overline{\text{Sp}}\{e_k\}_2^\infty$ ואינה על, כלומר **אינה הפיכה**. $\blacksquare$