שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2012 - מרחב הילברט

א. הוכח כי אם $A \in \mathcal{L}(H_1, H_2)$ מקיים $\text{dim}((\text{Ker } A)^\perp) = d < \infty$, אז $A$ הוא בעל דרגה סופית, ו- $\text{rank } A \leq d$. ב. הוכח כי אם במרחב נורמי $V$ קיימים וקטורים בלתי תלויים לינארית $x, y$ כך ש- $\|x\| = \|y\| = 1$ ו- $\|x + y\| = \|x\| + \|y\|$, אז הקבוצה $S = \{x \in V : \|x\| = 1\}$ (פני כדור היחידה) מכילה קטע.

רמז: א. הראו כי תמונת האופרטור $A$ זהה לתמונתו כאשר הוא מצומצם לתת-המרחב $(\text{Ker } A)^\perp$, ושהמרחב האחרון הוא מממד סופי $d$. ב. הגדירו את הקטע בין $x$ ו-$y$ באמצעות פרמטר $t \in [0,1]$. השתמשו באי-שוויון המשולש ובנתון $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ כדי להוכיח שנורמת כל וקטור בקטע הזה שווה ל-1.

פתרון: א. מטרתנו להוכיח כי $\text{rank } A = \text{dim}(\text{Im } A) \leq d$. במרחב הילברט $H_1$, מתקיים פירוק לסכום ישר אורתוגונלי: $H_1 = \text{Ker } A \oplus (\text{Ker } A)^\perp$. כאשר $\text{Ker } A$ הוא תת-מרחב סגור (מכיוון ש-$A$ **אופרטור חסום** ולכן רציף). ניקח וקטור כלשהו $v \in H_1$. לפי הפירוק, ניתן לרשום אותו באופן יחיד כ-$v = v_k + v_p$ כאשר $v_k \in \text{Ker } A$ ו-$v_p \in (\text{Ker } A)^\perp$. נפעיל את האופרטור $A$ על $v$: $Av = A(v_k + v_p) = Av_k + Av_p$ מכיוון ש-$v_k \in \text{Ker } A$, מתקיים $Av_k = 0$. לכן, $Av = Av_p$. זה מראה שכל איבר בתמונת $A$ הוא תמונה של איבר מ-$(\text{Ker } A)^\perp$. במילים אחרות, **תמונת האופרטור** $A$ זהה לתמונת הצמצום של $A$ לתת-המרחב $(\text{Ker } A)^\perp$: $\text{Im } A = A(H_1) = A((\text{Ker } A)^\perp)$. נתון כי $\text{dim}((\text{Ker } A)^\perp) = d < \infty$. יהי \{$e_1, e_2, \dots, e_d$\} בסיס כלשהו (לא בהכרח אורתונורמלי) של $(\text{Ker } A)^\perp$. ניקח איבר כלשהו $y \in \text{Im } A$. קיים $x \in (\text{Ker } A)^\perp$ כך ש-$y = Ax$. מכיוון ש-\{$e_i$\} מהווה בסיס ל-$(\text{Ker } A)^\perp$, ניתן לרשום את $x$ כצירוף לינארי: $x = \sum_{i=1}^d \alpha_i e_i$ עבור סקלרים $\alpha_i$ כלשהם. נפעיל את $A$: $y = Ax = A(\sum_{i=1}^d \alpha_i e_i) = \sum_{i=1}^d \alpha_i A e_i$ זה מראה שהקבוצה \{$Ae_1, Ae_2, \dots, Ae_d$\} פורשת את $\text{Im } A$. מימד של מרחב וקטורי הוא מספר הווקטורים המינימלי הפורש אותו. מכיוון שמצאנו קבוצה פורשת בגודל $d$, מימד המרחב הנפרש לא יכול להיות גדול מ-$d$. לכן, $\text{dim}(\text{Im } A) \leq d$. מכאן ש-$A$ הוא **אופרטור בעל דרגה סופית**, ודרגתו מקיימת $\text{rank } A \leq d$. $\blacksquare$ ב. נתונים וקטורים בלתי תלויים לינארית $x, y$ ב**מרחב נורמי** $V$ המקיימים $\|x\| = \|y\| = 1$ ו-\|x + y\| = \|x\| + \|y\| = 2$. עלינו להוכיח שפני **כדור היחידה** $S = \{z \in V : \|z\| = 1\}$ מכילים קטע. הקטע המחבר את הנקודות $x$ ו-$y$ הוא הקבוצה $L = \{(1-t)x + ty \mid t \in [0,1]\}$. נראה שכל הנקודות בקטע $L$ נמצאות על פני כדור היחידה, כלומר נורמתן היא 1. יהי $z_t = (1-t)x + ty$ וקטור כלשהו בקטע $L$ עבור $t \in [0,1]$. ראשית, נראה כי $\|z_t\| \leq 1$. באמצעות **אי-שוויון המשולש** ותכונות ה**נורמה**: $\|z_t\| = \|(1-t)x + ty\| \leq \|(1-t)x\| + \|ty\| = |1-t|\|x\| + |t|\|y\|$ מכיוון ש-$t \in [0,1]$, אז $1-t \geq 0$ ו-$t \geq 0$. כמו כן, נתון $\|x\|=\|y\|=1$. לכן: $\|z_t\| \leq (1-t) \cdot 1 + t \cdot 1 = 1-t+t = 1$. הראנו כי $\|z_t\| \leq 1$ לכל $t \in [0,1]$. כעת, נוכיח את הכיוון השני, $\|z_t\| \geq 1$, תוך שימוש בנתון $\|x+y\|=2$. נשים לב כי $x+y = ((1-t)x+ty) + (tx+(1-t)y)$. נסמן $u_t = (1-t)x+ty$ (שזהו $z_t$) ו-$v_t = tx+(1-t)y$. אז $x+y = u_t + v_t$. ניקח נורמה: $2 = \|x+y\| = \|u_t + v_t\| \leq \|u_t\| + \|v_t\|$. בדומה לחישוב שעשינו עבור $z_t=u_t$, ניתן להראות שגם $\|v_t\| \leq 1$: $\|v_t\| = \|tx+(1-t)y\| \leq \|tx\| + \|(1-t)y\| = t\|x\| + (1-t)\|y\| = t \cdot 1 + (1-t) \cdot 1 = 1$. קיבלנו את שרשרת אי-השוויונות הבאה: $2 = \|x+y\| \leq \|u_t\| + \|v_t\| \leq 1+1 = 2$ מכיוון שהערך ההתחלתי והסופי בשרשרת שווים ל-2, כל אי-השוויונות חייבים להיות שוויונות. בפרט, מתקיים $\|u_t\| + \|v_t\| = 2$. מאחר וגם הראנו ש-\|u_t\| $\leq 1$ וגם $\|v_t\| \leq 1$, הדרך היחידה שסכומם יהיה 2 היא אם כל אחד מהם שווה ל-1. כלומר, $\|u_t\| = 1$ ו-\|v_t\| = 1. לכן, $\|z_t\| = \|u_t\| = 1$ לכל $t \in [0,1]$. הראנו שכל נקודה על הקטע $L$ המחבר את $x$ ו-$y$ היא בעלת נורמה 1, ולכן הקטע כולו מוכל ב-$S$. מכיוון ש-$x,y$ בלתי תלויים לינארית, הם וקטורים שונים, והקטע אינו נקודה בודדת. $\blacksquare$