שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2018

קורס: אנליזה פונקציונלית

אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה

שנה: 2018

סמסטר: ב

נושאים: אופרטור אוניטרי, אופרטור צמוד, השלמה אורתוגונלית, מרחב הילברט, מרחב בנך, מרחב C[a,b], אופרטורים חסומים, הוכחה

רמת קושי: בינוני-קשה

א. יהיו $M_1, M_2$ תת-מרחבים של מרחבי הילברט $H_1, H_2$ בהתאמה, יהי $T \in \mathcal{L}(H_1, H_2)$ ויחי $M_2$ תת-מרחב סגור. הוכיחו כי $T^*(M_2^\perp) \subseteq M_1^\perp$ אם ורק אם $T(M_1) \subseteq M_2$. ב. יהי $C(\mathbb{R})$ מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-$\mathbb{R}$ עם נורמה $\|f\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$. בדקו כי $C(\mathbb{R})$ מהווה מרחב בנך, והראו כי אופרטור ליניארי $T$ במרחב זה המוגדר על-ידי $(Tf)(x) = f(x - x_0)$ לקבוע $x_0 \in \mathbb{R}$ מהווה אופרטור אוניטרי במרחב זה. הראו כי $T$ אופרטור ליניארי אוניטרי בתת-מרחב זה.

רמז: ל-5א: שני הכיוונים מסתמכים על הקשר $\langle T^*u, v \rangle = \langle u, Tv \rangle$ ועל הפירוק האורתוגונלי עבור תת-מרחב סגור. ל-5ב: $T$ הוא העתקת הזזה, שהיא בבירור איזומטריה ועל.

פתרון: **שאלה 5א:** **חלק 1 ($T(M_1) \subseteq M_2 \Rightarrow T^*(M_2^\perp) \subseteq M_1^\perp$):** נניח ש-$T(M_1) \subseteq M_2$. יהי $u \in M_2^\perp$. לכל $v \in M_1$: $$\langle T^*u, v \rangle = \langle u, Tv \rangle = 0$$ כי $Tv \in M_2$ ו-$u \perp M_2$. לכן $T^*u \in M_1^\perp$, משמע $T^*(M_2^\perp) \subseteq M_1^\perp$. **חלק 2 ($T^*(M_2^\perp) \subseteq M_1^\perp \Rightarrow T(M_1) \subseteq M_2$):** לפי החלק הראשון (עם $T^*$ במקום $T$), $(T^*)^*\big((M_1^\perp)^\perp\big) \subseteq (M_2^\perp)^\perp$. כיוון ש-$(T^*)^* = T$, ומכיוון ש-$M_2$ **סגור** (נתון) אז $(M_2^\perp)^\perp = M_2$ (מסקנה 1.19), וכן $(M_1^\perp)^\perp = \overline{M_1}$ (שאלה 33ב בפרק 1) ו-$\overline{M_1} \supseteq M_1$, קיבלנו $T(M_1) \subseteq M_2$. $\blacksquare$ **שאלה 5ב:** $C(\mathbf{R})$ הוא **מרחב בנך**: מוכיחים זאת בדיוק כמו בדוגמה ב של סעיף 6.2 (עם $\sup$ במקום $\max$). $T$ הוא **לינארי** (בדיקה מיידית). $T$ הוא **איזומטריה**: לכל $f \in C(\mathbf{R})$, $$\|Tf\| = \sup_x |f(x - x_0)| = \sup_x |f(x)| = \|f\|$$ $T$ הוא **על**: לכל $g \in C(\mathbf{R})$ קיים $f \in C(\mathbf{R})$ כך ש-$f(x) = g(x + x_0)$, אז $Tf = g$. לכן $T$ הוא **אופרטור אוניטרי** על $C(\mathbf{R})$. $\blacksquare$

א. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ויחי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכיחו כי

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

אם ורק אם

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדקו כי

C (R)

מהווה מרחב בנך, והראו כי אופרטור ליניארי

T

במרחב זה המוגדר על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

לקבוע

x_{0} \in R

מהווה אופרטור אוניטרי במרחב זה. הראו כי

T

אופרטור ליניארי אוניטרי בתת-מרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב2018סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטריאופרטור צמודהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחב בנךמרחב C[a,b]אופרטורים חסומיםהוכחה

ל-5א: שני הכיוונים מסתמכים על הקשר

⟨ T^{*} u, v ⟩ = ⟨ u, T v ⟩

ועל הפירוק האורתוגונלי עבור תת-מרחב סגור. ל-5ב:

T

הוא העתקת הזזה, שהיא בבירור איזומטריה ועל.

שאלה 5א:

חלק 1 (

T (M_{1}) \subseteq M_{2} \Rightarrow T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

):

נניח ש-

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

. יהי

u \in M_{2}^{⊥}

. לכל

v \in M_{1}

⟨ T^{*} u, v ⟩ = ⟨ u, T v ⟩ = 0

כי

T v \in M_{2}

ו-

u ⊥ M_{2}

. לכן

T^{*} u \in M_{1}^{⊥}

, משמע

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

.

חלק 2 (

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥} \Rightarrow T (M_{1}) \subseteq M_{2}

):

לפי החלק הראשון (עם

T^{*}

במקום

T

(T^{*})^{*} ((M_{1}^{⊥})^{⊥}) \subseteq (M_{2}^{⊥})^{⊥}

. כיוון ש-

(T^{*})^{*} = T

, ומכיוון ש-

M_{2}

סגור (נתון) אז

(M_{2}^{⊥})^{⊥} = M_{2}

(מסקנה 1.19), וכן

(M_{1}^{⊥})^{⊥} = \overline{M_{1}}

(שאלה 33ב בפרק 1) ו-

\overline{M_{1}} \supseteq M_{1}

, קיבלנו

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

■

שאלה 5ב:

C (R)

הוא מרחב בנך: מוכיחים זאת בדיוק כמו בדוגמה ב של סעיף 6.2 (עם

sup

במקום

max

T

הוא לינארי (בדיקה מיידית).

T

הוא איזומטריה: לכל

f \in C (R)

∥ T f ∥ = x sup ∣ f (x - x_{0}) ∣ = x sup ∣ f (x) ∣ = ∥ f ∥

T

הוא על: לכל

g \in C (R)

קיים

f \in C (R)

כך ש-

f (x) = g (x + x_{0})

, אז

T f = g

.

לכן

T

הוא אופרטור אוניטרי על

C (R)

■

שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - אופרטור אוניטרי