שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - אופרטורים לינאריים

א. בהינתן $y \in L_2[0,1]$, פתרו את המשוואה $$x(t) - 3\int_0^1 (s+t)x(s)\,ds = y(t).$$ ב. יהי $A: D(A) \to Y$ אופרטור לינארי, כאשר $D(A) \subseteq X$, $X$ ו-$Y$ מרחבים נורמיים. נניח כי $\text{Im } A$ סגור ב-$Y$ וקיים $m > 0$ כך ש- $\|Ax\| \geq m\|x\|$ לכל $x \in D(A)$. הוכיחו כי $A$ אופרטור סגור.

רמז: לסעיף א: שיטת פרידהולם עם גרעין ניווני משתמשת בפתיחת האינטגרל כמכפלה פנימית ובהיפוך מטריצה. לסעיף ב: התנאי $\|Ax\|\geq m\|x\|$ מבטיח יחידות הגבול, וסגירות $\mathrm{Im}\ A$ מבטיחה קיום אותו גבול בתחום.

פתרון: **סעיף א:** נסמן $(Kx)(t) = 3\int_0^1 (s+t)x(s)\,ds$. המשוואה לובשת את הצורה $(I - K)x = y$. נכתוב $Kx = \langle x, y_1 \rangle w_1 + \langle x, y_2 \rangle w_2$ כאשר $w_1 = 3$, $w_2 = t$, $y_1 = 3$, $y_2 = t$. נחשב לפי **שיטת סעיף 3.9 (משפט 3.16)** את המטריצה $a_{ik}$: $$a_{11} = 1 - \langle w_1, y_1 \rangle = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}, \quad a_{12} = -\langle w_2, y_1 \rangle = -\frac{1}{3}$$ $$a_{21} = -\langle w_1, y_2 \rangle = -9, \quad a_{22} = 1 - \langle w_2, y_2 \rangle = 1 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \cdot \ldots = -\frac{1}{2}$$ $$\det(a_{ik}) = -\frac{11}{4}, \quad a_{21} = -9, \quad a_{12} = -\frac{1}{3}$$ הפתרון הוא: $$x(t) = (I-K)^{-1}y(t) = y(t) + \frac{4}{11}\begin{vmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \langle y, t\rangle \\ -9 & -\tfrac{1}{2} & \langle y, 3\rangle \\ 3 & t & 0 \end{vmatrix}$$ $$= y(t) + \frac{12}{11}\left(\frac{t}{2} - 1\right)\int_0^1 y(s)\,ds + \frac{4}{11}\left(\frac{3}{2} - 9t\right)\int_0^1 s\,y(s)\,ds$$ --- **סעיף ב:** נניח ש-$\{x_n\} \subseteq \mathcal{D}(A)$, $x_n \to x_0$, ו-$Ax_n \to y_0$. עלינו להוכיח ש-$A$ **סגור**, כלומר $x_0 \in \mathcal{D}(A)$ ו-$Ax_0 = y_0$. מכיוון ש-$\mathrm{Im}\, A$ **סגור** ו-$Ax_n \to y_0$, נובע $y_0 \in \mathrm{Im}\, A$. לכן קיים $\tilde{x} \in \mathcal{D}(A)$ כך ש-$A\tilde{x} = y_0$. מהנתון $\|Ax\| \geq m\|x\|$ לכל $x \in \mathcal{D}(A)$: $$\|\tilde{x} - x_n\| \leq \frac{1}{m}\|A(\tilde{x} - x_n)\| = \frac{1}{m}\|y_0 - Ax_n\| \to 0$$ כלומר $x_n \to \tilde{x}$, ולכן **ביחידות הגבול** $\tilde{x} = x_0$. קיבלנו: $x_0 \in \mathcal{D}(A)$ ו-$Ax_0 = y_0$. לפי **הגדרה 7.5**, $A$ **סגור**. $\blacksquare$