שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - מרחב מכפלה פנימית

יהיו $V$ מרחב מכפלה פנימית, $U$ מרחב ליניארי ו-$T : V \to U$ אופרטור ליניארי חד-חד-ערכי. לכל $x, y \in U$ גדיר $\langle x,y \rangle_U := \langle Tx, Ty \rangle_V$. א. בדקו שביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב $U$. הוכיחו כי $T$ חסום כאשר מרחב $U$ מצויד במכפלה זו ומצאו את $\|T\|$. ב. יהיו $(A, (\cdot, \cdot)_B)$ מרחב בנך, $Y$ מרחב בנך ו-$(A_n) \in L(B,Y)$. לכל $x \in B$ קיימת סדרת קושי $\{A_n x\}$. הראו כי $(A_n)$ סדרה חסומה.

רמז: לסעיף א, אי-שליליות נובעת מנורמה, ואפסות מחח"ע. לסעיף ב, כל $\{A_n x\}$ חסומה כסדרת קושי, ועקרון החסימות האחידה מסיים.

פתרון: **סעיף א – הוכחה שהביטוי מגדיר מכפלה פנימית ומציאת $\|T\|$:** יש לבדוק את אקסיומות המכפלה הפנימית עבור $\langle x,y\rangle_U := \langle Tx,Ty\rangle_V$. **אי-שליליות:** לכל $x \in U$: $$\langle x,x\rangle_U = \|Tx\|_V^2 \geq 0$$ והשוויון מתקיים רק עבור $x=0$: אם $\langle x,x\rangle_U = 0$ אז $Tx = 0$, ומכיוון ש-$T$ **חד-חד-ערכי**, נובע $x=0$. **שאר האקסיומות** (לינאריות, צמידות) – בדיקה מיידית מתכונות המכפלה הפנימית ב-$V$. **נורמת האופרטור:** מהשוויון $\langle x,x\rangle_U = \|Tx\|_V^2$ נובע: $$\|Tx\|_V = \|x\|_U \quad \text{לכל } x \in U$$ משמע $T$ **איזומטרי**, ולכן $\|T\| = 1$. $\blacksquare$ **סעיף ב – הסדרה $(A_n)$ חסומה:** בכל **מרחב נורמי**, סדרת קושי היא **סדרה חסומה** (הערה 6 בראש סעיף 6.1). לכן, לכל $x \in B$, הסדרה $\{A_n x\}$ חסומה (שכן נתון שהיא סדרת קושי ב-$Y$). כעת מצטטים את **עקרון החסימות האחידה** (משפט 7.1) כדי להסיק שהסדרה $(A_n)$ חסומה ב-$L(B,Y)$. $\blacksquare$