שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2013 - אופרטורים קומפקטיים

א. השלם את המשפט 5.15: הוכח כי הקבוצות $\{\sigma_j\}$, $\{v_j\}$ ו-$\{u_j\}$ ממשפט 5.15 מוגדרות באופן חד-משמעי על-ידי אופרטור קומפקטי $A$, דהיינו $\{u_j\}$ ו-$\{\sigma_j^2 u_j\}$ הן מערכות בסיסיות של אופרטורים $A^*A$ ו-$AA^*$ בהתאמה. ב. יהיו $X, Y$ מרחבים נורמיים, $C \in L(X, Y)$, אופרטור סגור $A : D(A) \to Y$ כאשר $D(A) \subseteq X$. הוכח כי $A + C$ אופרטור סגור.

רמז: א. השתמשו בקשרים $Av_j = \sigma_j u_j$ ו-$A^*u_j = \sigma_j v_j$ הנתונים ממשפט הפירוק לערכים סינגולריים. הראו כיצד הפעלת $A^*$ על המשוואה הראשונה והפעלת $A$ על השנייה מובילה למשוואות ערכים עצמיים עבור $A^*A$ ו-$AA^*$. ב. השתמשו בהגדרת אופרטור סגור באמצעות סדרות. היעזרו בעובדה שאופרטור חסום הוא רציף כדי להסיק על התכנסות הסדרה ${Cx_n}$, ומכך לבודד את התנהגות הסדרה ${Ax_n}$ ולהשתמש בסגירות של $A$.

פתרון: א. ראשית, נציין כי ככל הנראה ישנה טעות בניסוח השאלה. הכוונה המסתברת היא להוכיח כי {$\sigma_j^2$} הם הערכים העצמיים של $A^*A$ ו-$AA^*$, וכי {${v_j}$} ו-{${u_j}$} הן מערכות הווקטורים העצמיים המתאימות. הוכחה זו מבססת את יחידותן של המערכות (עד כדי בחירת בסיס אורתונורמלי למרחבים העצמיים). מ**משפט הפירוק לערכים סינגולריים (SVD)** עבור **אופרטור קומפקטי** $A$, קיימות מערכות אורתונורמליות {${v_j}$} ו-{${u_j}$}, וסדרת **ערכים סינגולריים** $\sigma_j > 0$, כך שמתקיימים הקשרים הבאים: 1. $Av_j = \sigma_j u_j$ 2. $A^*u_j = \sigma_j v_j$ כעת נשתמש בקשרים אלו כדי למצוא את הווקטורים והערכים העצמיים של האופרטורים $A^*A$ ו-$AA^*$. שניהם **אופרטורים צמודים לעצמם** וקומפקטיים. נתבונן באופרטור $A^*A$. נפעיל את האופרטור **הצמוד** $A^*$ על המשוואה הראשונה: $A^*A v_j = A^* (\sigma_j u_j) = \sigma_j (A^* u_j)$ נציב את המשוואה השנייה ונקבל: $A^*A v_j = \sigma_j (\sigma_j v_j) = \sigma_j^2 v_j$ זוהי בדיוק משוואת **הערכים העצמיים**. מכאן, {${v_j}$} היא מערכת של **וקטורים עצמיים** של האופרטור $A^*A$ המתאימים ל**ערכים העצמיים** {$\sigma_j^2$}. כעת נתבונן באופרטור $AA^*$. נפעיל את האופרטור $A$ על המשוואה השנייה: $AA^* u_j = A (\sigma_j v_j) = \sigma_j (A v_j)$ נציב את המשוואה הראשונה ונקבל: $AA^* u_j = \sigma_j (\sigma_j u_j) = \sigma_j^2 u_j$ מכאן, {${u_j}$} היא מערכת של **וקטורים עצמיים** של האופרטור $AA^*$ המתאימים לאותם **ערכים עצמיים** {$\sigma_j^2$}. מכיוון שהספקטרום (למעט 0) של אופרטור קומפקטי וצמוד לעצמו מורכב מערכים עצמיים המוגדרים באופן חד-משמעי, קבוצת הערכים העצמיים {$\sigma_j^2$} נקבעת באופן יחיד על ידי $A$. כתוצאה מכך, גם קבוצת הערכים הסינגולריים {$\sigma_j$} נקבעת באופן יחיד. המרחבים העצמיים המתאימים גם הם נקבעים באופן יחיד, ולכן המערכות {${v_j}$} ו-{${u_j}$}, המהוות בסיסים אורתונורמליים למרחבים אלו (או לחלקים הרלוונטיים שלהם, $(\ker A)^\perp$ ו-$\overline{\text{Im}(A)}$), מוגדרות באופן חד-משמעי עד כדי טרנספורמציה אוניטרית בתוך כל מרחב עצמי מנוון. $\blacksquare$ ב. יהי $B = A+C$. תחום ההגדרה של $B$ הוא $D(B) = D(A) \cap D(C)$. מכיוון ש-$C \in L(X,Y)$, הוא **אופרטור חסום** ומוגדר על כל $X$, כלומר $D(C) = X$. לכן, $D(B) = D(A)$. כדי להוכיח ש-$B$ הוא **אופרטור סגור**, עלינו להראות שלכל סדרה ${x_n}_{n=1}^\infty \subset D(B)$ המקיימת $x_n \to x$ ב-**מרחב הנורמי** $X$ ו-$Bx_n \to y$ במרחב הנורמי $Y$, מתקיים כי $x \in D(B)$ ו-$Bx = y$. תהי ${x_n} \subset D(A)$ סדרה כזו ש-$x_n \to x$ ו-$(A+C)x_n \to y$. מכיוון ש-$C$ הוא **אופרטור לינארי חסום**, הוא בפרט **רציף**. לכן, מהעובדה ש-$x_n \to x$, נובע כי $Cx_n \to Cx$. כעת נתבונן בסדרה ${Ax_n}$. אנו יודעים כי: $(A+C)x_n = Ax_n + Cx_n$ לכן, $Ax_n = (A+C)x_n - Cx_n$. אנו יודעים את הגבולות של הסדרות באגף ימין: $\lim_{n \to \infty} (A+C)x_n = y$ $\lim_{n \to \infty} Cx_n = Cx$ מכיוון ששני הגבולות קיימים, גם הגבול של ההפרש קיים, ושווה להפרש הגבולות: $\lim_{n \to \infty} Ax_n = y - Cx$ כעת אספנו את כל הנתונים הדרושים כדי להשתמש בתכונת הסגירות של $A$. יש לנו סדרה ${x_n} \subset D(A)$ כך ש: 1. $x_n \to x$ 2. $Ax_n \to y - Cx$ מכיוון שהאופרטור $A$ **סגור**, מנתונים אלו נובע כי $x \in D(A)$ וגם $Ax = y - Cx$. מהמסקנה הראשונה, $x \in D(A)$, ומכיוון ש-$D(B)=D(A)$, קיבלנו כי $x \in D(B)$. מהמסקנה השנייה, $Ax = y - Cx$, ניתן לארגן מחדש את המשוואה: $y = Ax + Cx = (A+C)x = Bx$ הראינו כי $x \in D(B)$ ו-$y=Bx$, ובכך הוכחנו כי האופרטור $B=A+C$ הוא אופרטור סגור. $\blacksquare$