שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - ספקטרום

א. יהי $A \in L(H)$ ויחד כי הטור $\sum_{n=0}^{\infty}\|A^n\|$ מתכנס. הוכיחו כי $\sigma(A) \subseteq \{z:\|z\| < 1\}$ (שימו לב: מדובר בהכלה ממש). ב. יהי $E$ מרחב מכפלה פנימית. הראו כי אם $x, y \in E$ שונים מאפס ומקיימים $\|x+y\| = \|x\| + \|y\|$ אז קיים $\alpha > 0$ קיים כך ש-$y = \alpha x$.

רמז: בחלק א, הטור $\sum(\lambda A)^n$ מבטיח הפיכות של $I-\lambda A$, וסגירות הספקטרום מכניסה את ההכלה הממש. בחלק ב, השוויון בקושי-שוורץ מאלץ תלות לינארית.

פתרון: **א. הוכחה ש-$\sigma(A) \subseteq \{z : |z| < 1\}$:** הטור $\sum\|(\lambda A)^n\|$ מתכנס לכל $|\lambda| \leq 1$ (ממבחן ההשוואה לטורי מספרים), ולכן הטור $\sum(\lambda A)^n$ מתכנס (משפט 3.13). לפי **משפט 3.14**, $I - \lambda A$ הפיך. לכן אם $|\mu| \geq 1$ אז: $$\mu I - A = \mu\!\left(I - \frac{1}{\mu}A\right)$$ הפיך (כי $|\frac{1}{\mu}| \leq 1$), כלומר $\mu \notin \sigma(A)$. לפיכך $\sigma(A) \neq \{z:|z|<1\}$. ממשפט 5.19, $\sigma(A)$ **קבוצה סגורה**, ולכן: $$\sigma(A) \subseteq \{z:|z|\leq 1\} \setminus \{z:|z|=1\} \implies \sigma(A) \subset \{z:|z|<1\}$$ (הכלה ממש). $\blacksquare$ --- **ב. הוכחה ש-$y = \alpha x$ עבור $\alpha > 0$:** מחשבים: $$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle$$ $$\left(\|x\|+\|y\|\right)^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\|x\|\cdot\|y\|$$ לכן השוויון $\|x+y\| = \|x\|+\|y\|$ מתקיים אם"ם $\operatorname{Re}\langle x,y\rangle = \|x\|\cdot\|y\|$. מ**אי-שוויון קושי-שוורץ**: $$\operatorname{Re}\langle x,y\rangle \leq |\langle x,y\rangle| \leq \|x\|\cdot\|y\|$$ שוויון מתקיים אם"ם $x=0$ או $y = \alpha x$ עבור $\alpha \geq 0$. מהתנאי $x,y \neq 0$ ו-$\langle x,y\rangle > 0$ (כי $\operatorname{Re}\langle x,y\rangle = \|x\|\|y\| > 0$), נסיק $y = \alpha x$ עם $\alpha > 0$. $\blacksquare$