שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2013

קורס: אנליזה פונקציונלית

אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה

שנה: 2013

סמסטר: ב

נושאים: מרחב הילברט, התכנסות, קבוצות פתוחות וסגורות, סדרות, אופרטורים לינאריים, אופרטורים חסומים, ספקטרום, הוכחה

רמת קושי: בינוני-קשה

א. נגדיר $$U = \left\{ (\xi_n) \in \ell_2 : \sum_{n=1}^{\infty} n|\xi_n|^2 < \infty \right\}$$. בדוק כי $U$ תת-מרחב לא סגור של $\ell_2$ ומצא את $\overline{U}$. ב. יהיו $A, B \in L(H)$ כאשר $H$ מרחב הילברט, ותהי $\lambda$ נקודה רגולרית עבור $A$ וגם עבור $B$. הוכח כי $$R_\lambda(A) - R_\lambda(B) = R_\lambda(A)(A - B)R_\lambda(B)$$. תזכורת: $(1)$ $R_\lambda(A) = (\lambda I - A)^{-1}$

רמז: בחלק א', כדי להראות ש-$U$ אינו סגור, בנו סדרה ב-$U$ המתכנסת לאיבר שאינו ב-$U$, ולשם מציאת הסגור הראו ש-$U$ מכיל את מרחב הסדרות עם תומך סופי. בחלק ב', השתמשו בזהות $A - B = (\lambda I - B) - (\lambda I - A)$.

פתרון: א. \\ **1. הוכחה ש-$U$ הוא תת-מרחב של $\ell_2$:** \\ יהיו $x = (\xi_n), y = (\eta_n) \in U$ וסקלר $\alpha \in \mathbb{C}$. \\ ראשית, וקטור האפס $0 = (0,0,...)$ נמצא ב-$U$ כי הסכום $\sum_{n=1}^{\infty} n|0|^2 = 0 < \infty$. \\ עבור כפל בסקלר: $\sum_{n=1}^{\infty} n |\alpha \xi_n|^2 = |\alpha|^2 \sum_{n=1}^{\infty} n |\xi_n|^2$. מכיוון ש-$x \in U$, הסכום באגף ימין סופי, ולכן גם הביטוי כולו סופי. מכאן $\alpha x \in U$. \\ עבור חיבור וקטורים: נשתמש באי-שוויון $|a+b|^2 \le 2(|a|^2 + |b|^2)$ ונקבל: $$ \sum_{n=1}^{\infty} n |\xi_n + \eta_n|^2 \le \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot 2(|\xi_n|^2 + |\eta_n|^2) = 2\sum_{n=1}^{\infty} n|\xi_n|^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty} n|\eta_n|^2 $$ מכיוון ש-$x,y \in U$, שני הסכומים באגף ימין מתכנסים, ולכן גם הסכום באגף שמאל מתכנס. כלומר, $x+y \in U$. \\ הראינו ש-$U$ סגור תחת חיבור וכפל בסקלר ומכיל את איבר האפס, ולכן $U$ הוא **תת-מרחב** של $\ell_2$. \\ **2. הוכחה ש-$U$ אינו סגור:** \\ כדי להראות ש-$U$ אינו **תת-מרחב סגור**, נבנה סדרה ${x_k}_{k=1}^\infty$ של איברים ב-$U$ ש**מתכנסת** בנורמת $\ell_2$ לאיבר $x \in \ell_2$ אשר אינו ב-$U$. \\ נגדיר לכל $k \in \mathbb{N}$ את הסדרה $x_k = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{k}, 0, 0, \dots \right)$. \\ לכל $k$, מתקיים $x_k \in U$ מכיוון שהסכום הרלוונטי הוא סופי: $\sum_{n=1}^{\infty} n |(x_k)_n|^2 = \sum_{n=1}^{k} n \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n} < \infty$. \\ נגדיר את סדרת הגבול $x = \left(\frac{1}{n}\right)_{n=1}^\infty$. ראשית, נראה ש-$x \in \ell_2$: $\|x\|_{\ell_2}^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{n}\right|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty$. \\ כעת, נראה שהסדרה $x_k$ מתכנסת ל-$x$ בנורמת $\ell_2$: $$ \|x - x_k\|_{\ell_2}^2 = \sum_{n=k+1}^{\infty} \left|\frac{1}{n}\right|^2 = \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$ ביטוי זה הוא זנב של טור מתכנס, ולכן שואף לאפס כאשר $k \to \infty$. \\ לבסוף, נראה ש-$x \notin U$: $$ \sum_{n=1}^{\infty} n |x_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$ זהו הטור ההרמוני, והוא מתבדר לאינסוף. לכן $x \notin U$. \\ מצאנו גבול של סדרת איברים מ-$U$ שאינו ב-$U$, ולכן $U$ אינו קבוצה סגורה. \\ **3. מציאת הסגור $\overline{U}$:** \\ נראה ש-$U$ הוא **תת-מרחב צפוף** ב-$\ell_2$, כלומר $\overline{U} = \ell_2$. \\ נסמן ב-$c_{00}$ את מרחב הסדרות בעלות תומך סופי (מספר סופי של איברים שונים מאפס). אם $x = (\xi_n) \in c_{00}$, אז קיים $N$ כך ש-$\xi_n=0$ לכל $n>N$. לכן הסכום $\sum_{n=1}^{\infty} n|\xi_n|^2 = \sum_{n=1}^{N} n|\xi_n|^2$ הוא סופי, ומכאן ש-$x \in U$. \\ קיבלנו את ההכלה $c_{00} \subset U$. ידוע כי $c_{00}$ הוא תת-מרחב צפוף ב-$\ell_2$, כלומר $\overline{c_{00}} = \ell_2$. \\ מלקיחת סגור על ההכלה $c_{00} \subset U \subset \ell_2$ נקבל: $$ \overline{c_{00}} \subseteq \overline{U} \subseteq \overline{\ell_2} $$ מכיוון ש-$\overline{c_{00}} = \ell_2$ ו-$\ell_2$ הוא מרחב בנך (ולכן סגור), $\overline{\ell_2} = \ell_2$, נקבל: $$ \ell_2 \subseteq \overline{U} \subseteq \ell_2 $$ מכאן נובע בהכרח כי $\overline{U} = \ell_2$. \\ ב. \\ מטרתנו להוכיח את הזהות $R_\lambda(A) - R_\lambda(B) = R_\lambda(A)(A - B)R_\lambda(B)$. \\ נצא מאגף ימין של המשוואה ונפתח אותו. הרעיון המרכזי הוא להציג את ההפרש $A-B$ באופן שיאפשר צמצום עם אופרטורי הרזולבנט. נשתמש בזהות האלגברית: $$ A - B = (\lambda I - B) - (\lambda I - A) $$ נציב זאת באגף ימין: $$ R_\lambda(A)(A - B)R_\lambda(B) = R_\lambda(A) \left[ (\lambda I - B) - (\lambda I - A) \right] R_\lambda(B) $$ נפתח את הסוגריים: $$ = R_\lambda(A)(\lambda I - B)R_\lambda(B) - R_\lambda(A)(\lambda I - A)R_\lambda(B) $$ כעת נשתמש בהגדרת **אופרטור הרזולבנט**, $R_\lambda(X) = (\lambda I - X)^{-1}$. לפי הגדרה זו, מתקיים $R_\lambda(X)(\lambda I - X) = I$ וגם $(\lambda I - X)R_\lambda(X) = I$. \\ נפעיל את הזהות על הביטוי שקיבלנו: \\ $R_\lambda(A)(\lambda I - B)R_\lambda(B) = R_\lambda(A) \cdot I = R_\lambda(A)$ \\ $R_\lambda(A)(\lambda I - A)R_\lambda(B) = I \cdot R_\lambda(B) = R_\lambda(B)$ \\ נציב חזרה ונקבל: $$ R_\lambda(A)(A - B)R_\lambda(B) = R_\lambda(A) - R_\lambda(B) $$ וזהו בדיוק אגף שמאל של המשוואה. זהות זו ידועה כ**זהות הרזולבנט הראשונה** (או זהות הילברט). $\blacksquare$

א. נגדיר

U = {(ξ_{n}) \in ℓ_{2} : n = 1 \sum \infty n ∣ ξ_{n} ∣^{2} < \infty}

. בדוק כי

U

תת-מרחב לא סגור של

ℓ_{2}

ומצא את

\overline{U}

.

ב. יהיו

A, B \in L (H)

כאשר

H

מרחב הילברט, ותהי

λ

נקודה רגולרית עבור

A

וגם עבור

B

. הוכח כי

R_{λ} (A) - R_{λ} (B) = R_{λ} (A) (A - B) R_{λ} (B)

.

תזכורת:

(1)

R_{λ} (A) = (λ I - A)^{- 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2013סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטהתכנסותקבוצות פתוחות וסגורותסדרותאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםספקטרוםהוכחה

בחלק א', כדי להראות ש-

U

אינו סגור, בנו סדרה ב-

U

המתכנסת לאיבר שאינו ב-

U

, ולשם מציאת הסגור הראו ש-

U

מכיל את מרחב הסדרות עם תומך סופי. בחלק ב', השתמשו בזהות

A - B = (λ I - B) - (λ I - A)

א. \\ 1. הוכחה ש-

U

הוא תת-מרחב של

ℓ_{2}

: \\ יהיו

x = (ξ_{n}), y = (η_{n}) \in U

וסקלר

α \in C

. \\ ראשית, וקטור האפס

0 = (0, 0, ...)

נמצא ב-

U

כי הסכום

\sum_{n = 1}^{\infty} n ∣0 ∣^{2} = 0 < \infty

. \\ עבור כפל בסקלר:

\sum_{n = 1}^{\infty} n ∣ α ξ_{n} ∣^{2} = ∣ α ∣^{2} \sum_{n = 1}^{\infty} n ∣ ξ_{n} ∣^{2}

. מכיוון ש-

x \in U

, הסכום באגף ימין סופי, ולכן גם הביטוי כולו סופי. מכאן

α x \in U

. \\ עבור חיבור וקטורים: נשתמש באי-שוויון

∣ a + b ∣^{2} \leq 2 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2})

ונקבל:

n = 1 \sum \infty n ∣ ξ_{n} + η_{n} ∣^{2} \leq n = 1 \sum \infty n \cdot 2 (∣ ξ_{n} ∣^{2} + ∣ η_{n} ∣^{2}) = 2 n = 1 \sum \infty n ∣ ξ_{n} ∣^{2} + 2 n = 1 \sum \infty n ∣ η_{n} ∣^{2}

מכיוון ש-

x, y \in U

, שני הסכומים באגף ימין מתכנסים, ולכן גם הסכום באגף שמאל מתכנס. כלומר,

x + y \in U

. \\ הראינו ש-

U

סגור תחת חיבור וכפל בסקלר ומכיל את איבר האפס, ולכן

U

הוא תת-מרחב של

ℓ_{2}

. \\ 2. הוכחה ש-

U

אינו סגור: \\ כדי להראות ש-

U

אינו תת-מרחב סגור, נבנה סדרה

x_{k}_{k = 1}^{\infty}

של איברים ב-

U

שמתכנסת בנורמת

ℓ_{2}

לאיבר

x \in ℓ_{2}

אשר אינו ב-

U

. \\ נגדיר לכל

k \in N

את הסדרה

x_{k} = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{k}, 0, 0, \dots)

. \\ לכל

k

, מתקיים

x_{k} \in U

מכיוון שהסכום הרלוונטי הוא סופי:

\sum_{n = 1}^{\infty} n ∣ (x_{k})_{n} ∣^{2} = \sum_{n = 1}^{k} n (\frac{1}{n})^{2} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} < \infty

. \\ נגדיר את סדרת הגבול

x = (\frac{1}{n})_{n = 1}^{\infty}

. ראשית, נראה ש-

x \in ℓ_{2}

∥ x ∥_{ℓ_{2}}^{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}^{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} < \infty

. \\ כעת, נראה שהסדרה

x_{k}

מתכנסת ל-

x

בנורמת

ℓ_{2}

∥ x - x_{k} ∥_{ℓ_{2}}^{2} = n = k + 1 \sum \infty \frac{1}{n}^{2} = n = k + 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}

ביטוי זה הוא זנב של טור מתכנס, ולכן שואף לאפס כאשר

k \to \infty

. \\ לבסוף, נראה ש-

x \in / U

n = 1 \sum \infty n ∣ x_{n} ∣^{2} = n = 1 \sum \infty n (\frac{1}{n})^{2} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}

זהו הטור ההרמוני, והוא מתבדר לאינסוף. לכן

x \in / U

. \\ מצאנו גבול של סדרת איברים מ-

U

שאינו ב-

U

, ולכן

U

אינו קבוצה סגורה. \\ 3. מציאת הסגור

\overline{U}

: \\ נראה ש-

U

הוא תת-מרחב צפוף ב-

ℓ_{2}

, כלומר

\overline{U} = ℓ_{2}

. \\ נסמן ב-

c_{00}

את מרחב הסדרות בעלות תומך סופי (מספר סופי של איברים שונים מאפס). אם

x = (ξ_{n}) \in c_{00}

, אז קיים

N

כך ש-

ξ_{n} = 0

לכל

n > N

. לכן הסכום

\sum_{n = 1}^{\infty} n ∣ ξ_{n} ∣^{2} = \sum_{n = 1}^{N} n ∣ ξ_{n} ∣^{2}

הוא סופי, ומכאן ש-

x \in U

. \\ קיבלנו את ההכלה

c_{00} \subset U

. ידוע כי

c_{00}

הוא תת-מרחב צפוף ב-

ℓ_{2}

, כלומר

\overline{c_{00}} = ℓ_{2}

. \\ מלקיחת סגור על ההכלה

c_{00} \subset U \subset ℓ_{2}

נקבל:

\overline{c_{00}} \subseteq \overline{U} \subseteq \overline{ℓ_{2}}

מכיוון ש-

\overline{c_{00}} = ℓ_{2}

ו-

ℓ_{2}

הוא מרחב בנך (ולכן סגור),

\overline{ℓ_{2}} = ℓ_{2}

, נקבל:

ℓ_{2} \subseteq \overline{U} \subseteq ℓ_{2}

מכאן נובע בהכרח כי

\overline{U} = ℓ_{2}

. \\ ב. \\ מטרתנו להוכיח את הזהות

R_{λ} (A) - R_{λ} (B) = R_{λ} (A) (A - B) R_{λ} (B)

. \\ נצא מאגף ימין של המשוואה ונפתח אותו. הרעיון המרכזי הוא להציג את ההפרש

A - B

באופן שיאפשר צמצום עם אופרטורי הרזולבנט. נשתמש בזהות האלגברית:

A - B = (λ I - B) - (λ I - A)

נציב זאת באגף ימין:

R_{λ} (A) (A - B) R_{λ} (B) = R_{λ} (A) [(λ I - B) - (λ I - A)] R_{λ} (B)

נפתח את הסוגריים:

= R_{λ} (A) (λ I - B) R_{λ} (B) - R_{λ} (A) (λ I - A) R_{λ} (B)

כעת נשתמש בהגדרת אופרטור הרזולבנט,

R_{λ} (X) = (λ I - X)^{- 1}

. לפי הגדרה זו, מתקיים

R_{λ} (X) (λ I - X) = I

וגם

(λ I - X) R_{λ} (X) = I

. \\ נפעיל את הזהות על הביטוי שקיבלנו: \\

R_{λ} (A) (λ I - B) R_{λ} (B) = R_{λ} (A) \cdot I = R_{λ} (A)

R_{λ} (A) (λ I - A) R_{λ} (B) = I \cdot R_{λ} (B) = R_{λ} (B)

\\ נציב חזרה ונקבל:

R_{λ} (A) (A - B) R_{λ} (B) = R_{λ} (A) - R_{λ} (B)

וזהו בדיוק אגף שמאל של המשוואה. זהות זו ידועה כזהות הרזולבנט הראשונה (או זהות הילברט).

■

שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2013 - מרחב הילברט