שאלת מבחן באנליזה פונקציונלית - האוניברסיטה הפתוחה 2013 - אופרטורים לינאריים

לכל $f \in L_1[-\pi, \pi]$ ולכל $n \in \mathbb{Z}$ נגדיר $$a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx$$ ונסמן $a = (a_0, a_1, a_{-1}, \ldots, a_n, a_{-n}, \ldots)$. א. הוכח כי $a \in c_0$. ב. נגדיר $F : L_1[-\pi, \pi] \to c_0$ על-ידי $F(f) = a$. הוכח כי $F$ אופרטור לינארי חסום ומצא את $\|F\|$.

רמז: הוכחת הטענה בסעיף א' (למת רימן-לבג) מסתמכת על צפיפות של פונקציות פשוטות במרחב $L_1$. למציאת הנורמה בסעיף ב', הראו קיום של חסם עליון ובנו דוגמה שמממשת אותו.

פתרון: א. טענה זו ידועה בשם **למת רימן-לבג**. נוכיח אותה באמצעות טיעון צפיפות. **שלב 1: פונקציות מציינות של קטעים.** תהי $f(x) = \chi_{[c,d]}(x)$ פונקציה מציינת של קטע $[c,d] \subseteq [-\pi, \pi]$. עבור $n \neq 0$, מקדם הפורייה ה-$n$ שלה הוא: $$a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \chi_{[c,d]}(x)e^{-inx}dx = \frac{1}{2\pi} \int_c^d e^{-inx}dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{-inx}}{-in} \right]_c^d = \frac{e^{-ind} - e^{-inc}}{-2\pi in}$$ לכן, $|a_n| = \frac{|e^{-ind} - e^{-inc}|}{2\pi |n|} \leq \frac{|e^{-ind}| + |e^{-inc}|}{2\pi |n|} = \frac{2}{2\pi |n|} = \frac{1}{\pi |n|}$. מכאן ברור שכאשר $|n| \to \infty$, מתקיים $|a_n| \to 0$. **שלב 2: פונקציות פשוטות (מדרגות).** תהי $g(x) = \sum_{k=1}^M c_k \chi_{I_k}(x)$ פונקציית מדרגות, כאשר $I_k$ הם קטעים. מליניאריות האינטגרל, מקדמי הפורייה של $g$ הם צירוף ליניארי של מקדמי הפורייה של הפונקציות המציינות. מאחר ועבור כל פונקציה מציינת המקדמים שואפים לאפס, כך גם סכום סופי שלהם. לכן, הלמה נכונה לכל פונקציות המדרגות. **שלב 3: פונקציות כלליות ב-$L_1[-\pi, \pi]$.** קבוצת פונקציות המדרגות **צפופה** ב-$L_1[-\pi, \pi]$. תהי $f \in L_1[-\pi, \pi]$ ויהי $\epsilon > 0$. בגלל הצפיפות, קיימת פונקציית מדרגות $g$ כך ש- $\|f-g\|_1 = \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)|dx < \pi\epsilon$. נסמן ב-$a_n(h)$ את מקדם הפורייה ה-$n$ של פונקציה $h$. מליניאריות, $a_n(f) = a_n(f-g) + a_n(g)$. נשתמש באי-שוויון המשולש: $|a_n(f)| \leq |a_n(f-g)| + |a_n(g)|$. נחסום כל אחד מהאיברים: $$|a_n(f-g)| = \left| \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x)-g(x))e^{-inx}dx \right| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| |e^{-inx}| dx = \frac{1}{2\pi}\|f-g\|_1 < \frac{1}{2\pi}(\pi\epsilon) = \frac{\epsilon}{2}$$ החסם הזה אינו תלוי ב-$n$. לגבי האיבר השני, מכיוון ש-$g$ היא פונקציית מדרגות, משלב 2 אנו יודעים ש-$a_n(g) \to 0$ כאשר $|n| \to \infty$. לכן, קיים $N \in \mathbb{N}$ כך שלכל $|n| > N$ מתקיים $|a_n(g)| < \frac{\epsilon}{2}$. בסך הכל, לכל $|n| > N$ מתקיים: $$|a_n(f)| \leq |a_n(f-g)| + |a_n(g)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$ הוכחנו כי $\lim_{|n|\to\infty} a_n = 0$, ולכן הסדרה $a = (a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ שייכת למרחב $c_0$. $\blacksquare$ ב. **ליניאריות:** יהיו $f, g \in L_1[-\pi, \pi]$ ו-$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$. נסמן $h = \alpha f + \beta g$. הסדרה המתאימה ל-$h$ היא $F(h)$ שאיבריה הם $a_n(h)$. $$a_n(h) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\alpha f(x) + \beta g(x))e^{-inx}dx$$ מליניאריות האינטגרל: $$a_n(h) = \alpha \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx\right) + \beta \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x)e^{-inx}dx\right) = \alpha a_n(f) + \beta a_n(g)$$ זה נכון לכל $n \in \mathbb{Z}$, ולכן הסדרה $F(\alpha f + \beta g)$ היא $\alpha F(f) + \beta F(g)$. מכאן ש-$F$ הוא **אופרטור לינארי**. **חסימות ונורמה:** **הנורמה** במרחב $c_0$ היא נורמת הסופרמום, $\|a\|_\infty = \sup_{n \in \mathbb{Z}} |a_n|$. עבור $f \in L_1[-\pi, \pi]$ כלשהי, נחסום את $\|F(f)\|_{c_0}$: $$|a_n| = \left|\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx\right| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)e^{-inx}|dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|dx = \frac{1}{2\pi}\|f\|_1$$ החסם הזה נכון לכל $n \in \mathbb{Z}$. לכן, $$\|F(f)\|_{c_0} = \sup_{n \in \mathbb{Z}} |a_n| \leq \frac{1}{2\pi}\|f\|_1$$ מכאן שהאופרטור $F$ הוא **אופרטור חסום**, וה**נורמה** שלו מקיימת $\|F\| \leq \frac{1}{2\pi}$. כדי להראות שוויון, נראה כי החסם מושג. כלומר, נראה שקיים $f \in L_1[-\pi, \pi]$ עם $\|f\|_1=1$ כך ש-\|F(f)\|_{c_0} = \frac{1}{2\pi}$. נבחר בפונקציה הקבועה $f_0(x) = \frac{1}{2\pi}$. הנורמה של $f_0$ ב-$L_1$ היא: $$\|f_0\|_1 = \int_{-\pi}^{\pi} \left|\frac{1}{2\pi}\right|dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = \frac{1}{2\pi} (2\pi) = 1$$ נחשב את מקדמי הפורייה שלה: עבור $n=0$: $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi} e^0 dx = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = \frac{2\pi}{(2\pi)^2} = \frac{1}{2\pi}$$ עבור $n \neq 0$: $$a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi} e^{-inx}dx = \frac{1}{(2\pi)^2} \left[ \frac{e^{-inx}}{-in} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0$$ לכן, $F(f_0) = (\dots, 0, \frac{1}{2\pi}, 0, \dots)$ (כאשר האיבר הלא-אפסי הוא $a_0$). הנורמה ב-$c_0$ היא: $$\|F(f_0)\|_{c_0} = \sup_{n \in \mathbb{Z}} |a_n| = \left| \frac{1}{2\pi} \right| = \frac{1}{2\pi}$$ מצאנו פונקציה $f_0$ עם $\|f_0\|_1=1$ שמקיימת $\|F(f_0)\|_{c_0} = \frac{1}{2\pi}$. לכן, $\sup_{\|f\|_1=1} \|F(f)\|_{c_0} \geq \frac{1}{2\pi}$. יחד עם החסם שמצאנו קודם, $\|F\| \leq \frac{1}{2\pi}$, אנו מסיקים כי: $$\|F\| = \frac{1}{2\pi}$$ $\blacksquare$