תהי f:R→R פונקציה גזירה ברציפות ונניח שלכל x>0 מתקיים ∣f′(x)∣<x21. הוכיחו כי x→∞limf(x) קיים (במובן הצר).
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2026 · סמסטר א
גבולותנגזרותגזירותרציפותהוכחהמשפט הערך הממוצע
תהי f פונקציה גזירה בקטע I.
1. אם f חח"ע ב- I אז f′(x)=0 לכל x∈I.
2. אם f′(x)=0 לכל x∈I אז f חח"ע ב- I.
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1, 2
ד. אף טענה אינה נכונה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
הוכח או הפרךדוגמה נגדיתגזירותנגזרותחקירת פונקציהמונוטוניותמשפט הערך הממוצעפונקציות
1. לכל 0<a<b<2π מתקיים: ∣tanb−tana∣<∣b−a∣.
2. קיימת פונקציה f חסומה ב- R כך ש- limx→∞(f(x)+(e−x2+cos2x))=1.
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1, 2
ד. אף טענה אינה נכונה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
משפט הערך הממוצענגזרותטריגונומטריהגבולותפונקציותחסימותהוכח או הפרךאי-שוויונות
א. (10 נק')
הגדרת הגבול בלשון סדרות (ניסוח Heine) (הגדרה 4.54):
אומרים כי limx→∞f(x)=L אם לכל סדרה (xn) המקיימת xn→∞, מתקיים limn→∞f(xn)=L.
הוכיחו לפי הגדרת הגבול חזו: limx→∞x+1⌊x⌋+1=1.
ב. (15 נק')
תהי f פונקציה רציפה בקטע [1,∞) וגזירה בקטע (1,∞), המקיימת f′(x)>x לכל x>1.
(1) הוכיחו כי limx→∞f(x)=∞.
(2) הוכיחו/הפריכו: f מקבלת מקסימום בקטע [1,∞).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
הערה: בסעיף (2) מותר להשתמש בתוצאת סעיף (1), גם אם לא הוכחתם אותה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
גבולותסדרותכלל הסנדוויץ'הוכחההתבדרותנגזרותמשפט הערך הממוצעאי-שוויונותקיצוןהוכח או הפרךרציפותגזירות
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו (an),(bn) סדרות המקיימות limn→∞an=L ו- limn→∞∣bn−an∣=0. אז limn→∞bn=L.
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה f(x)=x2x−ln(1+x) רציפה במידה שווה בקטע (0,∞).
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
סדרותגבולותהוכח או הפרךהוכחהפונקציית ערך מוחלטאי-שוויונותרציפות במידה שווהחקירת פונקציהנגזרותפונקציות
(ג) תהי f גזירה וקמורה בקטע [a,b]. הוכיחו כי לכל a≤x1<x2<b מתקיים כי
b−x1f(b)−f(x1)≤b−x2f(b)−f(x2)
הטכניוןמועד א · 2025 · סמסטר ב
קיצוןמונוטוניותנגזרותהוכחה
שאלה 5 (25 נקודות) - רק לסטודנטים שלמו את התקורה בסמסטר ב/3/2025 או 2025 או שנה 2023 אם לפנות (שנה 2024 או 2025 או שנה 2023).
א. (10 נקודות)
הוכיחו/הפריכו.
ב. (15 נקודות)
הוכיחו שלכל זוג y>0 קיימת סדירות כך ש f(x)=x(x+1)arctanx מוגדרת בקטע (0,∞) אם לכל x∈(0,∞) קיימת סדירות המתכנסת ל f(x)=y בקטע (0,∞).
האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר ב
חקירת פונקציהמשפט ערך הבינייםגבולותנגזרותמונוטוניותרציפותהוכחה
תהיינה f,g:R→R תיחיות פונקציות. סמנו את הטענה הנכונה.
(א) אם f(x)+x1<g(x) לכל x>0 וגם קיימים limx→∞f(x),limx→∞g(x) אז limx→∞f(x)<limx→∞g(x).
(ב) אם f(x) גזירה ו-g(x) שווה ל-f(x) בכל נקודה שאינה מספר שלם, אז לכל a∈R הגבול limx→ag′(x) קיים.
(ג) אם f(x)≤g(x)≤f(x+π) בכל נקודה וגם קיים limx→∞f(x) אז קיים limx→∞g(x).
(ד) אם קיימים limx→∞f(x),limx→∞g(x) אז קיימים limx→∞(f(x)+(g(x))2),limx→∞(f(x)−(g(x))2).
הטכניוןמועד א · 2025 · סמסטר ב
גבולותכלל הסנדוויץ'נגזרותדוגמה נגדיתהוכח או הפרך
שאלה 4 (25 נקודות) - רק לסטודנטים שלמו את התקורה בסמסטר ב/3/2024 או ב/3/2025 או בסמסטר אחר (שנה 2024 או 2025 או שנה 2023 אם לפנות) לשימוש בקריאות השוואות על השאלה מתמטיפיות.
א. (10 נקודות)
הוכיחו/הפריכו.
ב. (15 נקודות)
הוכיחו שלכל זוג y>0 קיימת סדירות כך ש f(x)=x(x+1)arctanx מוגדרת בקטע (0,∞) אם לכל x∈(0,∞) קיימת סדירות המתכנסת ל f(x)=y בקטע (0,∞).
האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר ב
הוכח או הפרךחקירת פונקציהגבולותנגזרותמונוטוניותמשפט ערך הבינייםדוגמה נגדיתטריגונומטריה
1. לכל x∈R מתקיים 2xarctanx≥ln(1+x2).
2. קיימת פונקציה f רציפה ב R שלכל x∈R מתקיים (cosx+arctanx)−1=f(x).
האוניברסיטה הפתוחהמועד 81 · 2025 · סמסטר ב
חקירת פונקציהנגזרותקיצוןמינימוםמונוטוניותאי-שוויונותהוכחה
שאלות נגזרות באינפי 1 / חדו"א 1 עם פתרונות
שאלות תרגול באינפי 1 / חדו"א 1 בנושא נגזרות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא נגזרות.