א. (10 נק')
הוכיחו את משפט הסנדוויץ' (משפט 2.32):
תהיינה (an), (bn) ו-(cn) סדרות עבורן מתקיימים התנאים הבאים:
לכל n מתקיים an≤bn≤cn; הסדרות (an) ו-(cn) מתכנסות; ו-limn→∞an=limn→∞cn.
אז גם הסדרה (bn) מתכנסת, ומתקיים limn→∞an=limn→∞bn=limn→∞cn.
ב. (15 נק')
תהי f פונקציה גזירה בקטע (a,b) המקיימת limx→a+f(x)=limx→b−f(x)=∞.
הוכיחו שקיימת נקודה c∈(a,b) כך ש-f′(c)=0.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 86 · 2025 · סמסטר א
כלל הסנדוויץ'סדרותהתכנסותגבולותהוכחהגזירותנגזרותמשפט ויירשטראסמשפט פרמהקיצוןמינימוםרציפות
(א) הוכיחו את משפט רול: תהי f רציפה בקטע החסום והסגור [a,b] וגזירה בקטע (a,b) המקיימת f(a)=f(b). אז קיימת a<c<b עבורה f′(c)=0.
(ב) הוכיחו כי אם f:[0,∞)→R גזירה וגם limx→∞f(x)=0=f(0) אז קיים 0<c עבורו f′(c)=0.
רמז: הוכיחו קודם במקרה שקיים 0<x0 עבורו f(x0)>0.
(ג) חשבו את הגבול אם קיים במובן הרחב, או הסבירו מדוע אינו קיים במובן הרחב. יהיו 0<a<bx→∞lim∫xx+bet2dt∫xx+aet2dt
הטכניוןמועד ב · 2024 · סמסטר ב
משפט רולמשפט פרמהמשפט ויירשטראסגבולותאינטגרליםהוכחהנגזרותרציפות
א) חשבו את משפט רול. (5 קודקודות)
ב) הוכיחו את משפט רול. (12 קודקודות)
הטכניוןמועד ב · 2024 · סמסטר א
משפט רולנגזרותרציפותגזירותמשפט ויירשטראסמשפט פרמהקיצוןהוכחה
(29 נק׳) .7
(א) (5 נק׳) נתחנו משפט רול.
(ב) (12 נק׳) הוכיחו את משפט רול.
הטכניוןמועד ב · 2024 · סמסטר א
משפט רולנגזרותגזירותקיצוןמשפט ויירשטראסמשפט פרמהרציפותהוכחה
ישנם שלושים נקודות בשלוש שאלות מחובות. חובה להראות או להפריך בכל סעיף.
(א) חישבו (5 נקודות) נתחון משפט רול.
(ב) הוכיחו (12 נקודות) חוקי משפט רול.
הטכניוןמועד ב · 2023 · סמסטר א
משפט רולנגזרותגזירותרציפותקיצוןמשפט פרמהמשפט ויירשטראסהוכחהפולינומים
תהי f:R→R סמנו את השערת הטעות.
(א) אם f גזירה בכל נקודה ו־limx→∞f′(x)=1, אז יש N>0 כך ש־f עולה ממש בקטע (N,∞).
(ב) אם ∣f(x)∣≤sin2x לכל x, אז f גזירה בנקודה 0.
(ג) אם f גזירה ומונוטונית, ויש נקודות x1<x2 שהן נקודות קיצון מקומי של f, אז לכל x1<x<x2 יש נקודת קיצון מקומי של f.
(ד) אם f גזירה בכל נקודה, ו־f′(x)<1 בכל נקודה, ו־limx→∞f′(x)=1, אז f′ עולה.
הטכניוןמועד ב · 2023 · סמסטר א
נגזרותגבולותקיצוןמונוטוניותגזירותמשפט פרמההוכח או הפרךדוגמה נגדית
(א) (5 נקודות)
נסחו את משפט רול.
(ב) (11 נקודות)
הוכיחו את משפט רול.
(ג) (10 נקודות)
הוכיחו כי אם f(x),g(x) פונקציות גזירות בקטע [a,b] ומקיימות f(a)=g(a) וגם f′(x)=g′(x) לכל a≤x≤b, אז f(x)=g(x) לכל a<x≤b.
הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר א
משפט רולנגזרותגזירותרציפותמשפט ויירשטראסמשפט פרמההוכחה
(26 נקודות)
(א) (5 נקודות)
נסחו את משפט רול.
(ב) (11 נקודות)
הוכיחו את משפט רול.
(ג) (10 נקודות)
הוכיחו כי אם f(x),g(x) פונקציות גזירות בקטע [a,b] המקיימות f(a)=g(a) וגם f′(x)=g′(x) לכל a≤x≤b, אז f(x)=g(x) לכל a<x≤b.
הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר א
משפט רולהוכחהרציפותגזירותנגזרותמשפט ויירשטראסמשפט פרמהקיצוןמינימום
הטכניוןמועד ב · 2019 · סמסטר א
משפט רולהוכחהנגזרותגזירותמשפט ויירשטראסמשפט פרמהקיצוןרציפות
א. (5 נקודות) נסחו את משפט פרמה
ב. (10 נקודות) הוכיחו את משפט פרמה
הטכניוןמועד א · 2018 · סמסטר א
משפט פרמהנגזרותנגזרת חד-צדדיתקיצוןהוכחהגזירות
שאלות משפט פרמה באינפי 1 / חדו"א 1 עם פתרונות
שאלות תרגול באינפי 1 / חדו"א 1 בנושא משפט פרמה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משפט פרמה.