שאלה 3 (25 נקודות) (1) בטוח את כך ש כל x ∈ [ 0 , ∞ ) הסדרה מתכנסת: lim n → ∞ ln ( 1 + 1 + n 2 x 2 n ) . הערה: מודרנוס בנוסחה קובץ (פרטיות). (2) סומן f ( x ) = ln ( 1 + 1 + n 2 x 2 n ) , n ∈ N , בקטע [ 0 , ∞ ) . הערה: n פונקציה בכספר קובץ (פרטיות). הערה: הסדרה היא סדרה השמטה לממשל לכל n . הערה: מקסום את max f ([ 0 , ∞ )) . רמז: הנקודה היא סדרה השמטה שלכל לממשל ל n . (3) סומן s n = sup f ([ 0 , ∞ )) (תוצאה השכנות הקדומה). הערה: זו סדרה. הוכיחו או הפריכו: lim n → ∞ s n = 0 .
האוניברסיטה הפתוחה מועד 81 · 2025 · סמסטר ב
סדרות פונקציות התכנסות התבדרות גבולות חקירת פונקציה קיצון סופרמום הוכח או הפרך
חשבו, לכל x ∈ [ 0 , ∞ ) , את lim n → ∞ e 1 + n 2 x 2 n x . הערה: מדובר בגבול של סדרה . x מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב- x .
האוניברסיטה הפתוחה 82 · 2024 · סמסטר ג
סדרות פונקציות גבולות סדרות
נסמן s n = sup f ([ 0 , ∞ )) (תוצאת הסעיף הקודם). הוכיחו או הפריכו: lim n → ∞ s n = 1 . (הסעיפים אינם שווי משקל)
האוניברסיטה הפתוחה 82 · 2024 · סמסטר ג
סדרות סופרמום סדרות פונקציות הוכח או הפרך
עבור כל x ∈ [ 0 , ∞ ) , חשבו את lim n → ∞ 1 + n 2 x 2 n . הערה: התוצאה עשויה להיות תלויה ב-x .
האוניברסיטה הפתוחה מועד ב' 2024 · 2024 · סמסטר ב
גבולות סדרות פונקציות
נתון סדרת החזקות ∑ n = 1 ∞ ( 2 n )! n ! x n א) סדרת החזקות מתכנסת רק בנקודה x = 0 . ב) רדיוס התכנסות הסדרות שלה הוא 2. ג) רדיוס התכנסות הסדרות שלה הוא 1. ד) תחום התכנסות הסדרות שלה הוא [ − 2 e , 2 e ) . הטכניון מועד ב · 2024 · סמסטר א
סדרות פונקציות התכנסות טורים
בשאלה זו 4 סעיפים שמשקל כל אחד מהם 2 נקודות. סמנו בכל סעיף אם מה שרשום נכון או לא נכון. (א) אם f : R → R מונוטונית עולה, וגם lim n → ∞ f ( n ) = 8 , אז lim x → ∞ f ( x ) קיים ושווה ל־ 8 . נכון לא נכון (ב) תחום ההתכנסות של טור החזקות ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 cos ( n 1 ) + sin n ) x n הוא [ − 1 , 1 ) . נכון לא נכון (ג) אם p ( x ) = ∑ k = 0 100 a k x k פולינום ממעלה 100 , אז פולינום טיילור של p ( x ) מסדר 150 בסביבת a = 1 , הוא ∑ k = 0 100 a k x k . נכון לא נכון (ד) אם F ( x ) פונקציה קדומה של פונקציה רציפה וזוגית, אז F ( x ) איזוגית. נכון לא נכון
הטכניון מועד א · 2022 · סמסטר א
גבולות טור טיילור סדרות פונקציות פונקציה קדומה מונוטוניות פולינומים פונקציות הוכחה נגזרות כלל הסנדוויץ'
בשאלה זו 4 סעיפים שמשקל כל אחד מהם 2 נקודות. סמנו בכל סעיף אם מה שרשום נכון או לא נכון. (א) אם a n ⋅ b n n → ∞ 0 וגם 3 ≤ a n ≤ 9 לכל n , אז b n מתכנסת. נכון   לא נכון (ב) אם 0 ≤ a n ≤ b n לכל n ≥ 10 , אז תחום ההתכנסות של n = 0 ∑ ∞ a n x n מוכל בתחום ההתכנסות של n = 0 ∑ ∞ b n x n . נכון   לא נכון (ג) אם 0 < a n n → ∞ ∞ , אז a n a n 1 n → ∞ 1 . נכון   לא נכון (ד) אם n = 1 ∑ ∞ a n מתכנס וגם n = 1 ∑ ∞ a n 2 אינו מתכנס, אז n = 1 ∑ ∞ a n מתכנס בתנאי. נכון   לא נכון הטכניון מועד ג · 2022 · סמסטר א
סדרות טורים סדרות פונקציות התכנסות התבדרות הוכחה דוגמה נגדית כלל הסנדוויץ' חסימות
(א) הראו כי n → ∞ lim ∫ 0 1 sin ( x n ) d x קיים במובן הרחב ומיצאו את הגבול, או הראו כי הגבול אינו קיים במובן הרחב.
הטכניון מועד א · 2022 · סמסטר א
אינטגרלים גבולות סדרות פונקציות כלל הסנדוויץ' התכנסות
(א) (11 נקודות) הראו כי n → ∞ lim ∫ 0 1 sin ( x n ) d x קיים במובן הרחב ומצאו את הגבול, או הראו כי הגבול אינו קיים במובן הרחב. (ב) (11 נקודות) תהי f : ( 0 , ∞ ) → R פונקציה גזירה פעמיים עבורה 0 < f ′′ ( x ) לכל x > 0 . f ( 3 x ) − f ( x ) < f ( 5 x ) − f ( 3 x ) לכל x > 0 .
הטכניון מועד א · 2022 · סמסטר א
נגזרות אינטגרלים משפט הערך הממוצע כלל הסנדוויץ' גבולות סדרות פונקציות אי-שוויונות
(30 נקודות) (א) (10 נקודות) חשבו את האינטגרל ∫ x 2 − 4 x + 3 5 x + 8 d x (ב) (10 נקודות) חשבו את ( 18 ) 4 3 ברמת דיוק של 1000 1 . (ג) (10 נקודות) מיצאו את תחום ההתכנסות (קטע ההתכנסות) של טור החזקות n = 1 ∑ ∞ 4 n − 3 n 3 n − 2 n x n
הטכניון מועד ג · 2022 · סמסטר א
אינטגרלים פונקציה קדומה טור טיילור סדרות פונקציות התכנסות התבדרות טורים
שאלות סדרות פונקציות באינפי 1 / חדו"א 1 עם פתרונות שאלות תרגול באינפי 1 / חדו"א 1 בנושא סדרות פונקציות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא סדרות פונקציות.