יהיו (an),(bn) סדרות חסומות.
1. אם כל איברי (an) שייכים לקטע [a,b] אז גם כל גבול חלקי של (an) שייך לקטע [a,b].
2. אם A=limk→∞ank גבול חלקי של (an) ו- B=limk→∞bmk גבול חלקי של (bn) אז A+B=limk→∞ank+limk→∞bmk הוא גבול חלקי של (an+bn).
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1,2
ד. אף טענה אינה נכונה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2026 · סמסטר א
סדרותגבולות חלקייםחסימותהוכח או הפרךדוגמה נגדיתאי-שוויונותהתכנסות
יהיו f,g:R→R פונקציות חסומות. מצאו דוגמה לפונקציות חסומות f,g:R→R כך ש-
sup(f+g)<supf+supg
הוכיחו את תשובתכן.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2026 · סמסטר א
סופרמוםפונקציותחסימותדוגמה נגדיתאי-שוויונות
יהיו f,g:R→R שתי פונקציות חסומות. הוכיחו כי מתקיים
sup(f+g)≤supf+supg
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2026 · סמסטר א
סופרמוםפונקציותחסימותהוכחהאי-שוויונות
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי f פונקציה רציפה במידה שווה בקטע I, ותהי (xn) סדרת קושי (ראו הגדרה 3.35) כך שלכל n מתקיים xn∈I.
אז (f(xn)) היא סדרת קושי.
ב. (15 נק')
(1) יהיו f,g פונקציות חיוביות ורציפות ב- [a,b], גזירות ב- (a,b), ומתקיים f(b)f(a)=g(a)g(b).
הוכיחו שקיימת נקודה c∈(a,b) בה מתקיים f(c)f′(c)=−g(c)g′(c).
(2) הוכיחו/הפריכו:
לכל 0<a<b<2π מתקיים: ∣tanb−tana∣<∣b−a∣.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
האוניברסיטה הפתוחהמועד 88 · 2026 · סמסטר א
רציפות במידה שווהסדרת קושיהוכחהמשפט רולגזירותמשפט הערך הממוצעטריגונומטריהאי-שוויונותהוכח או הפרך
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי f פונקציה רציפה בקטע I, ותהי (xn) סדרת קושי (ראו הגדרה 3.35) כך שלכל n מתקיים xn∈I.
אז (f(xn)) היא סדרת קושי.
ב. (15 נק')
(1) יהיו f,g פונקציות חיוביות ורציפות ב־[a,b], גזירות ב־(a,b), ומתקיים f(b)f(a)=g(b)g(a).
הוכיחו שקיימת נקודה c∈(a,b) בה מתקיים f(c)f′(c)=g(c)g′(c).
(2) הוכיחו/הפריכו:
לכל 0≤a<b≤π מתקיים: ∣sinb−sina∣<∣b−a∣.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2026 · סמסטר א
הוכח או הפרךדוגמה נגדיתסדרת קושירציפותמשפט רולגזירותהוכחהמשפט הערך הממוצעאי-שוויונותטריגונומטריהפונקציות
1. לכל 0<a<b<2π מתקיים: ∣tanb−tana∣<∣b−a∣.
2. קיימת פונקציה f חסומה ב- R כך ש- limx→∞(f(x)+(e−x2+cos2x))=1.
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1, 2
ד. אף טענה אינה נכונה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
משפט הערך הממוצענגזרותטריגונומטריהגבולותפונקציותחסימותהוכח או הפרךאי-שוויונות
תהי f פונקציה גזירה ב- R המקיימת f(x)<ln(1+x2) לכל x∈R.
1. f חסומה מלרע ב- R.
2. קיימת נקודה x0 כך ש- f(x0)=0.
3. קיימת נקודה x0 כך ש- f′(x0)=0.
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 3
ד. 1, 2
ה. 1, 3
ו. 2, 3
ז. 1, 2, 3
ח. אף טענה אינה נכונה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
הוכח או הפרךדוגמה נגדיתגזירותחקירת פונקציהקיצוןמינימוםאי-שוויונותחסימות
א. (10 נק')
הגדרת הגבול בלשון סדרות (ניסוח Heine) (הגדרה 4.54):
אומרים כי limx→∞f(x)=L אם לכל סדרה (xn) המקיימת xn→∞, מתקיים limn→∞f(xn)=L.
הוכיחו לפי הגדרת הגבול חזו: limx→∞x+1⌊x⌋+1=1.
ב. (15 נק')
תהי f פונקציה רציפה בקטע [1,∞) וגזירה בקטע (1,∞), המקיימת f′(x)>x לכל x>1.
(1) הוכיחו כי limx→∞f(x)=∞.
(2) הוכיחו/הפריכו: f מקבלת מקסימום בקטע [1,∞).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
הערה: בסעיף (2) מותר להשתמש בתוצאת סעיף (1), גם אם לא הוכחתם אותה.
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
גבולותסדרותכלל הסנדוויץ'הוכחההתבדרותנגזרותמשפט הערך הממוצעאי-שוויונותקיצוןהוכח או הפרךרציפותגזירות
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 4.41:
תהיינה f,g פונקציות. אם הגבולות limx→x0f(x),limx→x0g(x) קיימים, ואם קיימת סביבה נקובה Nδ∗(x0) של x0 שבה מתקיים f(x)≤g(x), אז limx→x0f(x)≤limx→x0g(x).
ב. (15 נק')
הוכיחו שהפונקציה f(x)=x∣sinx∣ מקבלת בקטע (0,∞) כל ערך חיובי אינסוף פעמים.
כלומר יש להוכיח שלכל y>0, למשוואה f(x)=y יש אינסוף פתרונות בקטע (0,∞).
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
גבולותהוכחהאי-שוויונותמשפט ערך הבינייםרציפותפונקציותטריגונומטריה
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו (an),(bn) סדרות המקיימות limn→∞an=L ו- limn→∞∣bn−an∣=0. אז limn→∞bn=L.
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה f(x)=x2x−ln(1+x) רציפה במידה שווה בקטע (0,∞).
האוניברסיטה הפתוחהמועד 83 · 2025 · סמסטר ג
סדרותגבולותהוכח או הפרךהוכחהפונקציית ערך מוחלטאי-שוויונותרציפות במידה שווהחקירת פונקציהנגזרותפונקציות
שאלות אי-שוויונות באינפי 1 / חדו"א 1 עם פתרונות
שאלות תרגול באינפי 1 / חדו"א 1 בנושא אי-שוויונות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית, הטכניון, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אי-שוויונות.