איך לתרגל שאלות התכנסות בהחלט באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות התכנסות בהחלט באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות התכנסות בהחלט יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות התכנסות בהחלט באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על התכנסות בהחלט לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

התכנסות בהחלט הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא התכנסות בהחלט הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - התכנסות בהחלט

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

א. מצאו את תחום ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

אם ידוע כי קיימים מספרים ממשיים

β > 0, L > 0

כך ש-

∣ a_{n} ∣^{β} n \to L

כאשר

n \to \infty

.

ב. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\sum_{n = 1}^{\infty} (cos n \cdot sin \frac{1}{n} + sin n \cdot sin \frac{1}{n ^{2}})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותטוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאי

א. תהיינה

f (x), g (x)

פונקציות רציפות ב-

[0, \infty)

. הוכיחו: אם האינטגרלים

\int_{0}^{\infty} f (x)^{2} d x, \int_{0}^{\infty} g (x)^{2} d x

מתכנסים, אז גם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} (f (x) + g (x))^{2} d x

מתכנס.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

lim_{x \to 0} \frac{\int _{0}^{x} \frac{s i n t}{t} d t - t a n x}{2 x ( 1 - c o s x )}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהוכחהאי-שוויונותהתכנסות בהחלט

א. בהינתן סדרת מספרים

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

נגדיר

c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

.
הוכיחו שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}

מתכנס אם ורק אם הסדרה

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת לגבול סופי.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2} sin ( x ^{2} )}{2 ^{x}} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםסדרותהוכחהאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסות

א. הוכיחו או הפריכו: הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} n ^{3}}{( l n n ) ^{n + 1}}

מתכנס בתנאי.

ב. אם

f (x)

אינטגרבילית בכל קטע

[0, t]

0 < t

ומקיימת

\int_{x}^{x + 1} f (t) d t \leq \frac{1}{x ^{2}}

לכל

0 < x

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותהפרכה

תהי

f : [0, \infty) \to R

פונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סגור

[a, b]

של

[0, \infty)

.
אמת או שקר? נמקו:

(א) (13 נקודות.) "אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט, אז בהכרח קיימת סדרה

x_{n} \to \infty

כך ש-

x_{n} f (x_{n}) \to 0

."

(ב) (14 נקודות.) "אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס, אז בהכרח קיימת סדרה

x_{n} \to \infty

כך ש-

x_{n} f (x_{n}) \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיהוכחההפרכהסדרות

א. בדקו אם הטור הבא מתכנס:

n = 1 \sum \infty cos n \cdot \frac{( n + 1 ) ^{n}}{n ^{n + 1}} + (- 1)^{n} (\frac{2 n - 1}{1 + 3 n})^{n}

ב. תהי

f (x)

גזירה אינסוף פעמים ב-

R

, וקיים

M

כך ש-

∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq M

לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי. הוכיחו: אם קיימת נקודה

a

כך ש-

f^{(k)} (a) = 0

לכל

k = 0, 1, \dots

, אז

f (x) = 0

לכל

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהתכנסות בהחלטהסכמת אבלנוסחת טיילורשגיאת קירובגזירותהוכחה

א. הראו (ללא שימוש במחשבון, כמובן) ש-

\int_{0}^{π} e^{- x} cos^{2} x d x \leq \int_{π}^{2 π} e^{- x} cos^{2} x d x

הארה: אל תנסו לחשב את האינטגרלים (כי לא ניתן לעשות את זה בכלים של הקורס שלנו), מצאו דרך להשוות אותם בלי לחשב אותם.

ב. קבעו אם האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{sin ( x + 1 )}{x} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהתכנסות בתנאיהתכנסות בהחלטהוכחהאי-שוויונות

א. קבעו אם האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{s i n ( 3 x ) \cdot c o s ( x ^{2} )}{x ^{3}} d x

.

ב. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות המוגדרות באופן הבא:

f_{1} (x) = 1

ולכל

n \geq 1

ו־

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) tan x

. הראו שהסדרה

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, \frac{π}{4}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסותסדרת פונקציותהתכנסות במידה שווההוכחה

נסמן ב-

f

את הפונקציה ה-

2 π

-מחזורית שמקיימת לכל

- π \leq t < π

f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, - 1, 0, t \in (0, \frac{π}{2}), t \in [- \frac{π}{2}, 0], t \in / [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .

קבעו האם הטור

\sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f} (n)

מתכנס, ואם כן, חשבו את ערכו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור פורייהבדיקת התכנסותהתכנסות בהחלט

א. הראו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי, אז קיימת תת-סדרה

(a_{n_{k}})

של הסדרה

(a_{n})

כך שהטור

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_{k}}

מתבדר.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{- \infty}^{\infty} sin (e^{x}) d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםהתכנסות בתנאיסדרותהוכחהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסותאינטגרציה בחלקים

שאלות התכנסות בהחלט באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא התכנסות בהחלט ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא התכנסות בהחלט.