איך לתרגל שאלות שגיאת קירוב באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות שגיאת קירוב באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות שגיאת קירוב יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות שגיאת קירוב באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על שגיאת קירוב לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

שגיאת קירוב הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא שגיאת קירוב הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - שגיאת קירוב

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של נוסחת טיילור

רמת קושי:

א. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

(i) אם

f (x), g (x)

רציפות בקטע

[0, 1]

אז

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x \cdot \int_{0}^{1} g (x) d x

.

(ii) אם

f (x), g (x)

רציפות בקטע

[0, 1]

ו-

f (x) \leq g (x)

לכל

x \in [0, 1]

אז

\int_{0}^{1} f (x) d x \leq \int_{0}^{1} g (x) d x

.

ב. הראו כי ניתן לקרב את

tan x

על-ידי

x

כך ששגיאת הקירוב לא תעלה על

\frac{1}{4}

לכל

x

בקטע

[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרליםהפרכההוכחהרציפותאי-שוויונותנוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירוב

א. בדקו אם הטור הבא מתכנס:

n = 1 \sum \infty cos n \cdot \frac{( n + 1 ) ^{n}}{n ^{n + 1}} + (- 1)^{n} (\frac{2 n - 1}{1 + 3 n})^{n}

ב. תהי

f (x)

גזירה אינסוף פעמים ב-

R

, וקיים

M

כך ש-

∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq M

לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי. הוכיחו: אם קיימת נקודה

a

כך ש-

f^{(k)} (a) = 0

לכל

k = 0, 1, \dots

, אז

f (x) = 0

לכל

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהתכנסות בהחלטהסכמת אבלנוסחת טיילורשגיאת קירובגזירותהוכחה

בשאלה זו יש שני סעיפי ב. אם בחרתם לענות על שאלה זו, עליכם לענות על אחד מסעיפי ב, בהתאם לסמסטר בו למדתם את הקורס (אם הייתם רשומים לקורס "חשבון אינפיניטסימלי 2" כמה פעמים, אז הכוונה היא לסמסטר האחרון בו הייתם רשומים לקורס זה):

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה בקטע

[0, 1)

ומתקיים

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} f^{2} (x) = π

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{0}^{1} f (x) d x

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.
נגדיר

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s i n ( x ^{2} ) - s i n ( y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

האם

f

רציפה בנקודה

(0, 0)

?
האם

f

דיפרנציאבילית בנקודה

(0, 0)

?

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.
היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים של הפונקציה

1 + x^{2}

על מנת לחשב

1.01

בדיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה, כלומר כך שהשגיאה לא תעלה על

0.5 \cdot 1 0^{- 4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהוכחהטור חזקותמקלורןשגיאת קירובנוסחת טיילורטור לייבניץ

א. נגדיר

f (x) = x sinh x

(תזכורת:

sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

). מצאו קירוב ל־

f (0.1)

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

ב. תהי

f (x)

פונקציה רציפה בקטע

(0, \infty]

. הוכיחו כי

a \to 0^{+} lim \int_{a}^{2 a} \frac{f ( x )}{x} d x = f (0) ln 2

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

נוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירובאינטגרליםגבולותרציפותהוכחה

א. תהי

f (x)

פונקציה בעלת נגזרת שלישית בקטע

[- 1, 1]

ומקיימת:

f (0) = f (- 1) = 0

f (1) = 1

f^{'} (0) = 0

. הוכיחו כי קיימת נקודה

c

בקטע

[- 1, 1]

כך ש-

f^{(3)} (c) \geq 3

.

ב. חשבו את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה

f (x) = \frac{1}{e ^{x} - e ^{- x}}

לציר ה-

x

בקטע

[0, \frac{1}{2}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

נוסחת טיילורשגיאת קירובנגזרותהוכחהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםשטח בין עקומות

א. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

a

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n + 2 - n - 2}{n ^{a}}

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שאינם למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

נגדיר

f (x, y) = {\frac{x s i n y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

בדקו אם

f

דיפרנציאבילית ב-(0,0).

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

השתמשו בפיתוח מקלורן של הפונקציה

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - c o s t}{t} d t

על מנת לחשב את

\int_{0}^{1} \frac{1 - c o s t}{t} d t

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

הערה: האינטגרנד אמנם לא מוגדר עבור

t = 0

, אך

f (x)

מוגדרת היטב, בהתאם לסעיף 3.1.2 בספר הלימוד.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותפונקציות של שני משתניםגזירותנגזרות חלקיותגבולותטור חזקותמקלורןאינטגרליםשגיאת קירובטור לייבניץ

א. תהי

f (x)

אינטגרבילית בהחלט ב-

(0, \infty]

ו-

f^{'} (x)

רציפה וחסומה ב-

(0, \infty]

. הוכיחו כי

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

.

הדרכה. נסו לחשוב על השאלות הבאות, זה יכול לעזור בפתרון: מהי קדומה של

f (x) f^{'} (x)

? האם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) f^{'} (x) d x

מתכנס?

ב. השתמשו בפיתוח מקלורן של

tan x

מסדר מתאים כדי להראות ש-

\frac{8 x ^{3}}{3} \geq tan x - x \geq \frac{x ^{3}}{3}

לכל

x \in [0, π /4]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםהוכחהגבולותחסימותגזירותנוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירובאי-שוויונות

השתמשו בפיתוח מקלורן על מנת לחשב את

\int_{0}^{1/2} e^{- x^{2}} d x

כך שהשגיאה לא תעלה על

5 \cdot 1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מקלורןאינטגרליםשגיאת קירוב

הראו כי

\frac{1}{2} - 5 \cdot 1 0^{- 2} < arctan \frac{1}{2} < \frac{1}{2}

.
(משמע —

\frac{1}{2}

הוא קירוב מלמעלה של

arctan \frac{1}{2}

ברמת דיוק של

5 \cdot 1 0^{- 2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מקלורןשגיאת קירובטורים

היעזרו בפיתוח טיילור מסדר מתאים על מנת לחשב את

330

כך שהשגיאה לא תעלה על

5 \cdot 1 0^{- 4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2023 · סמסטר א

★★★★★

נוסחת טיילורשגיאת קירוב

שאלות שגיאת קירוב באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא שגיאת קירוב ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא שגיאת קירוב.