איך לתרגל שאלות חסימות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות חסימות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות חסימות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות חסימות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על חסימות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

חסימות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא חסימות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - חסימות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

(א) (12 נקודות.) נתונה

f (x) = \frac{1}{1 + s i n x}

כאשר

f : (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \to R

. מיצאו את

\int f (x) d x

.
(ההצבה

t = tan \frac{x}{2}

מועילה בשאלות רבות מסוג זה.)

(ב) (15 נקודות.) תהי

f : [0, 1] \to R

פונקציה מונוטונית עולה ממש המקיימת

f (0) = 0

ו-

f (1) = 1

. הוכיחו:

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} (f (x))^{n} d x = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםשינוי משתנהסדרת פונקציותגבולותהוכחהחסימותאי-שוויונות

יהי

α

מספר אי-רציונלי. בכל אחד מהמקרים הבאים, הוכיחו כי, לכל

x \in R

N \to \infty lim \frac{1}{N} n = 0 \sum N - 1 f (x + n α π) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) d t .

(א) (10 נקודות.)

f (x) = e^{ik x}

כאשר

k \in Z

.

(ב) (7 נקודות.)

f (x) = \sum_{k = - m}^{m} a_{k} e^{ik x}

פולינום טריגונומטרי, כלומר,

f

הוא סכום סופי של אקספוננציאלים מרוכבים, כאשר

m \in N

ו-

a_{k} \in C

.

(ג) (10 נקודות.)

f \in C (T)

, כלומר,

f : R \to C

רציפה ומקיימת

f (x + 2 π) = f (x)

לכל

x \in R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הוכחהרציפותגבולותחסימותאי-שוויונותטור פורייההתכנסות במידה שווה

א. תהי

f (x)

גזירה פעמיים בקטע

[a, b]

.
נסמן

M_{2} = sup {∣ f^{(2)} (x) ∣ : x \in [a, b]}

M_{0} = max {∣ f (x) ∣ : x \in [a, b]}

.
ידוע ש־

2 M_{0} \geq M_{2} (b - a)^{2}

והערך

M_{0}

מתקבל לא בקצוות הקטע.
הוכיחו כי

f (x)

לא מתאפסת בקטע

[a, b]

.

ב. נגדיר

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

לכל

n \in N

.
הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותהוכחהחסימותטוריםבדיקת התכנסותאינטגרלים לא אמיתיים

א. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n l n n} x^{n}

מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו.

ב. מצאו את כל הפונקציות

f (x)

אינטגרביליות בקטע

[0, t]

לכל

0 < t

ומקיימות

\int_{0}^{t} f (x) d x = cos t

לכל

0 < t

, או הסבירו מדוע לא קיימת פונקציה

f (x)

כזו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותהתכנסות במידה שווהרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותאינטגרליםאינטגרביליותגבולותחסימותהוכחה

א. תהי

f (x)

פונקציה גזירה פעמיים בקטע

[0, 1]

כך ש־

f (0) = f (1)

ו־

∣ f^{''} (x) ∣ \leq A

לכל

0 \leq x \leq 1

. הוכיחו כי

∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{A}{2}

לכל

x \in [0, 1]

.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

תהי

f (x, y)

דיפרנציאבילית בנקודה

p_{0}

ומקיימת:

(D_{u} f) (p_{0}) = - 5

כאשר

u = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

;

(D_{v} f) (p_{0}) = 10

כאשר

v = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})

.
מצאו את הגרדיאנט של

f

בנקודה

p_{0}

.

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

תהי

f (x)

רציפה בכל אחד מהקטעים

(1, 2), (2, 3), (3, 4)

ומקיימת

∣ f (x) ∣ \leq 4

לכל

x \in [1, 4]

. הראו כי

\int_{1}^{4} \frac{f ( x )}{x ^{2}} d x \leq 3

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותנגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםהוכחהחסימותאי-שוויונותאינטגרליםאינטגרביליות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. אם

f (x)

רציפה ב-

[1, \infty)

והאינטגרל

\int_{1}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט, אז

f (x)

חסומה ב-

[1, \infty)

.

ב. הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{( n \cdot l n \frac{n + 1}{n} ) ^{n}}

מתכנס בתנאי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםרציפותחסימותטוריםהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותגבולותנוסחת טיילורהפרכה

שאלת בונוס עבור תלמידים המשתייכים לקבוצה 28.

נסמן

A = {(x, y) \in R^{2} : y^{2} \leq x^{2} + 1}

ונגדיר פונקציה

f : R^{2} \to R

על ידי

f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}

לכל

(x, y) \in R^{2}

.
בכל אחד מהסעיפים הבאים מופיעה טענה, עליכם לקבוע האם מדובר בטענה נכונה או שאינה נכונה. תשובה נכונה תזכה ב-2 נקודות.

1.

A

קבוצה סגורה.
2.

A

קבוצה חסומה.
3. הפונקציה

f

דיפרנציאבילית.
4. לפונקציה

f

קיים מינימום בקבוצה

A

.
5. לפונקציה

f

קיים מינימום בקבוצה

\partial A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן דוגמה · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

פונקציות של שני משתניםרציפותגזירותחסימות

נסמן ב-

{t} = t - [t] \in [0, 1)

את החלק השברי של

t

.

א. הוכיחו כי קיים אינטגרל רימן

\int_{0}^{n} {x^{2}} d x

, ושמתקיים

\int_{0}^{n} {x^{2}} d x \leq n

לכל

n

טבעי.

ב. הוכיחו שקיים

c > 0

כך שלכל

n

טבעי מתקיים

\int_{0}^{n} {x^{2}} d x \geq c n

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרביליותחסימותאי-שוויונותהוכחההפרכה

תהיינה

f_{n}, f : (0, 1) \to R

פונקציות רציפות לכל

n \in N

. נניח

f_{n} \to f

במידה שווה ב-

(0, 1)

, ונתון בנוסף שכל

f_{n}

חסומה.

א. הוכיחו כי

sup f_{n} \to sup f

.

ב. האם ייתכן ש-

sup f_{n} = in f f_{n + 1}

לכל

n

טבעי? תנו דוגמה או הוכיחו שזה לא ייתכן.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותרציפותגבולותחסימותהוכחה

א. נתונה פונקציה

f : [a, b] \to R

רציפה. הוכיחו כי

n \to \infty lim (\int_{a}^{b} ∣ f ∣^{n})^{1/ n} = [a, b] max ∣ f ∣.

ב. נתונה פונקציה

f : [0, \infty) \to R

גזירה וחיובית, וקיים וסופי הגבול

L = lim_{x \to \infty} (ln f)^{'} (x)

עם

L < 0

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםרציפותגבולותחסימותהוכחהנגזרותמשפט הערך הממוצעבדיקת התכנסות

שאלות חסימות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא חסימות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא חסימות.