איך לתרגל שאלות התכנסות בתנאי באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות התכנסות בתנאי באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות התכנסות בתנאי יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות התכנסות בתנאי באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על התכנסות בתנאי לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

התכנסות בתנאי הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא התכנסות בתנאי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - התכנסות בתנאי

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

א. ידוע כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי והסדרה

(b_{n})

מוגדרת באופן הבא: אם

a_{n} \geq 0

אז

b_{n} = \frac{1}{2}

, ואם

a_{n} < 0

אז

b_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

מתבדר.

ב. פונקציה

f (x)

מוגדרת על-ידי

f (x) = {x^{2} sin (\frac{π x}{2}) 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 4

.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של

f (x)

בקטע

[0, 4]

לבין ציר ה-

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

התכנסות בתנאיבדיקת התכנסותטוריםהוכחהאינטגרליםשטח בין עקומות

א. מצאו את תחום ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

אם ידוע כי קיימים מספרים ממשיים

β > 0, L > 0

כך ש-

∣ a_{n} ∣^{β} n \to L

כאשר

n \to \infty

.

ב. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\sum_{n = 1}^{\infty} (cos n \cdot sin \frac{1}{n} + sin n \cdot sin \frac{1}{n ^{2}})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותטוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאי

א. הוכיחו או הפריכו: הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} n ^{3}}{( l n n ) ^{n + 1}}

מתכנס בתנאי.

ב. אם

f (x)

אינטגרבילית בכל קטע

[0, t]

0 < t

ומקיימת

\int_{x}^{x + 1} f (t) d t \leq \frac{1}{x ^{2}}

לכל

0 < x

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותהפרכה

תהי

f : [0, \infty) \to R

פונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סגור

[a, b]

של

[0, \infty)

.
אמת או שקר? נמקו:

(א) (13 נקודות.) "אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט, אז בהכרח קיימת סדרה

x_{n} \to \infty

כך ש-

x_{n} f (x_{n}) \to 0

."

(ב) (14 נקודות.) "אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס, אז בהכרח קיימת סדרה

x_{n} \to \infty

כך ש-

x_{n} f (x_{n}) \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיהוכחההפרכהסדרות

א. הראו (ללא שימוש במחשבון, כמובן) ש-

\int_{0}^{π} e^{- x} cos^{2} x d x \leq \int_{π}^{2 π} e^{- x} cos^{2} x d x

הארה: אל תנסו לחשב את האינטגרלים (כי לא ניתן לעשות את זה בכלים של הקורס שלנו), מצאו דרך להשוות אותם בלי לחשב אותם.

ב. קבעו אם האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{sin ( x + 1 )}{x} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהתכנסות בתנאיהתכנסות בהחלטהוכחהאי-שוויונות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. אם

f (x)

רציפה ב-

[1, \infty)

והאינטגרל

\int_{1}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט, אז

f (x)

חסומה ב-

[1, \infty)

.

ב. הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{( n \cdot l n \frac{n + 1}{n} ) ^{n}}

מתכנס בתנאי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםרציפותחסימותטוריםהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותגבולותנוסחת טיילורהפרכה

א. הראו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי, אז קיימת תת-סדרה

(a_{n_{k}})

של הסדרה

(a_{n})

כך שהטור

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_{k}}

מתבדר.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{- \infty}^{\infty} sin (e^{x}) d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםהתכנסות בתנאיסדרותהוכחהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסותאינטגרציה בחלקים

א. הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:

(i) קיים טור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

שהטור מתכנס כך שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (a_{n} + 1)

מתבדר.

(ii) קיים טור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

שהטור מתבדר כך שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (a_{n} + 1)

מתכנס.

ב. חשבו את נפחו של גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב סביב ציר ה-

x

של התחום המוגבל על-ידי גרף הפונקציה

f (x) = \frac{1}{e ^{x} + 1}

וציר ה-

x

בקטע

[0, ln 3]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםהתכנסות בתנאיטור לייבניץבדיקת התכנסותהוכחההפרכהאינטגרליםנפח גוף סיבוב

שאלה שלישית ־ 25 נקודות

פתרו את הסעיפים הבאים:

.1 (12 נקודות) תהי

f : [0, 1] \to (0, \infty)

פונקציה רציפה וחיובית. חשבו את האינטגרל

\int_{0}^{1} \frac{f ( x )}{f ( x ) + f ( 1 - x )} d x

.2 (13 נקודות) מצאו לאילו ערכי

0 < a

האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר

\int_{0}^{\infty} arctan (x) cos (x^{a}) d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותשינוי משתנה

קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי, או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{sin ( x ^{3} )}{x + \frac{1}{x ^{2}}} d x .

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה95 · 2021 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בתנאי

שאלות התכנסות בתנאי באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא התכנסות בתנאי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא התכנסות בתנאי.