נגדיר פונקציה f:R3→R על ידי f(x,y,z)=z+34x2 לכל (x,y,z)∈R3. נסמן
A={(x,y,z)∈R3 : x2+y2+z3−2z2=0, z≥0}.
הוכיחו קיימים ל-f ערכי מינימום ומקסימום בקבוצה A, ומצאו אותם.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב
קיצון מותנהנגזרות חלקיותהוכחה
א. נסחו את משפט כופלי לגראנז'.
ב. תהי g:Rn→R פונקציה גזירה ברציפות ותהי p∈Rn נקודה עבורה g(p)=0. נסמן A={x∈Rn:g(x)=0} ונניח כי A חסומה ולא ריקה.
i. הוכיחו כי קיימת נקודה x0∈A כך שלכל x∈A מתקיים ∥x−p∥≥∥x0−p∥.
ii. נניח בנוסף כי מתקיים ∇g(x0)=0, כאשר x0 היא הנקודה המבוקשת בסעיף הקודם. תהי γ:R→Rn מסילה גזירה, נניח כי לכל t∈R מתקיים γ(t)∈A ובנוסף γ(0)=x0. חשבו את ⟨γ˙(0),x0−p⟩.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב
קיצון מותנההוכחהנגזרות חלקיות
נגדיר f:R3→R על ידי f(x,y,z)=xy2z3 לכל (x,y,z)∈R3. הוכיחו כי קיימים ל-f ערכי מינימום ומקסימום מוחלטים בקבוצה S={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2=1} ומצאו אותם.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב
קיצון מותנהפונקציות של שני משתניםהוכחה
נגדיר f:R3→R על ידי f(x,y,z)=x2+3y2+2z2 לכל (x,y,z)∈R3. הוכיחו כי קיימים ל-f ערכי מינימום ומקסימום מוחלטים בקבוצה S={(x,y,z)∈R3:x2+4y2+25z2=3} ומצאו אותם.
אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב
קיצון מותנהפונקציות של שני משתניםהוכחה
נגדיר f:R3→R על ידי f(x,y,z)=xy2z3 לכל (x,y,z)∈R3. הוכיחו כי קיימים ל-f ערכי מינימום ומקסימום מוחלטים בקבוצה S={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2=1} ומצאו אותם.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב
נגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםקיצון מותנה
נגדיר f:R3→R על ידי f(x,y,z)=x2+3y2+2z2 לכל (x,y,z)∈R3. הוכיחו כי קיימים ל-f ערכי מינימום ומקסימום מוחלטים בקבוצה S={(x,y,z)∈R3:x2+4y2+25z2=3} ומצאו אותם.
אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב
נגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםקיצון מותנה
נגדיר פונקציה f:R2→R על ידי f(x,y)=x2+2y2−4y לכל (x,y)∈R2. הוכיחו כי קיימים ל-f ערכי מינימום ומקסימום מוחלטים בקבוצה C={(x,y)∈R2:x2+y2=9} ומצאו אותם.
אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2023 · סמסטר ב
נגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםקיצון מותנה
מצאו את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה f(x,y)=x2−2x+y2+4y+1 בעיגול x2+y2≤25.
אוניברסיטת בר-אילן2021 · סמסטר ב
קיצון מותנהנגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםחסימות
מצאו את הנקודות הקריטיות של הפונקציה:
f(x,y)=xy2−2x2y−4xy
וסווגו אותן. האם יש ל-f נקודות קיצון מוחלטות ב-R2?
אוניברסיטת בר-אילן2021 · סמסטר ב
נגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםקיצון מותנהגזירות
מצאו את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה f(x,y)=x2+y2−xy−2x−2y במשולש שקודקודיו הם (0,0), (6,0), (0,6).
אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2020 · סמסטר ב
נגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםקיצון מותנה