איך לתרגל שאלות בדיקת התכנסות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות בדיקת התכנסות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות בדיקת התכנסות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות בדיקת התכנסות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על בדיקת התכנסות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

בדיקת התכנסות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא בדיקת התכנסות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - בדיקת התכנסות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

תהי

f : [a, \infty) \to R

פונקציה רציפה ומחזורית עם מחזור

T > 0

. תהי

g : [a, \infty) \to R

פונקציה מונוטונית וגזירה ברציפות המקיימת

lim_{x \to \infty} g (x) = 0

.

א. נניח

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = 0

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x

מתכנס.

ב. נניח

\int_{a}^{a + T} f (x) d x \neq = 0

. הוכיחו כי

\int_{a}^{\infty} g (x) d x

מתכנס אם ורק אם

\int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםפונקציות מחזוריותמבחן דיריכלהבדיקת התכנסותהוכחה

א. ידוע כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי והסדרה

(b_{n})

מוגדרת באופן הבא: אם

a_{n} \geq 0

אז

b_{n} = \frac{1}{2}

, ואם

a_{n} < 0

אז

b_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

מתבדר.

ב. פונקציה

f (x)

מוגדרת על-ידי

f (x) = {x^{2} sin (\frac{π x}{2}) 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 4

.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של

f (x)

בקטע

[0, 4]

לבין ציר ה-

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

התכנסות בתנאיבדיקת התכנסותטוריםהוכחהאינטגרליםשטח בין עקומות

א. מצאו את תחום ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

אם ידוע כי קיימים מספרים ממשיים

β > 0, L > 0

כך ש-

∣ a_{n} ∣^{β} n \to L

כאשר

n \to \infty

.

ב. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\sum_{n = 1}^{\infty} (cos n \cdot sin \frac{1}{n} + sin n \cdot sin \frac{1}{n ^{2}})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותטוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאי

א. מצאו את כל הערכים של

a

ו-

b

עבורם מתכנס האינטגרל:

\int_{0}^{π /2} \frac{( 1 - c o s x ) ^{a}}{x ^{b}} d x

.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

תהי

f (x, y)

בעלת נגזרות חלקיות מסדר ראשון רציפות בסביבת הנקודה

A = (1, 3)

. ידוע שהנגזרת הכיוונית של

f

בנקודה

A

בכיוון מ-

A

ל-

B = (3, 3)

שווה ל-

3

, והנגזרת הכיוונית של

f

בנקודה

A

בכיוון מ-

A

ל-

C = (1, 8)

שווה ל-

26

. חשבו את הנגזרת הכיוונית של

f

בנקודה

A

בכיוון מ-

A

ל-

D = (6, 15)

.

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

לכל

x \in [0, 1]

נגדיר

f_{n} (x)

ברקורסיה הבאה:

f_{1} (x) = x, f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) - f_{n}^{2} (x)

. בדקו אם הסדרה

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, 1]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותנוסחת טיילור

א. חשבו את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה

f (x) = \frac{x}{- 2 x - x ^{2}}

לציר ה־

x

בין

x = - 1

ל־

x = - \frac{1}{2}

.

ב. הוכיחו: אם

a_{n} > 0

לכל

n

והטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n}

מתכנס אז גם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n + 1}^{2}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

שטח בין עקומותאינטגרליםטוריםבדיקת התכנסותהוכחהאי-שוויונות

א. סדרת הפונקציות

(f_{n} (x))

מוגדרת לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי על-ידי

f_{n} (x) = \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}}

. בדקו אם מתקיים השוויון

n \to \infty lim \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} n \to \infty lim f_{n} (x) d x

ב. יהי

a_{n} > 0

לכל

n

. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס אם ורק אם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - e^{- a_{n}})

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותאינטגרליםגבולותטוריםבדיקת התכנסותהוכחה

א. בהינתן סדרת מספרים

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

נגדיר

c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

.
הוכיחו שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}

מתכנס אם ורק אם הסדרה

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת לגבול סופי.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2} sin ( x ^{2} )}{2 ^{x}} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםסדרותהוכחהאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסות

א. תהי

f (x)

גזירה פעמיים בקטע

[a, b]

.
נסמן

M_{2} = sup {∣ f^{(2)} (x) ∣ : x \in [a, b]}

M_{0} = max {∣ f (x) ∣ : x \in [a, b]}

.
ידוע ש־

2 M_{0} \geq M_{2} (b - a)^{2}

והערך

M_{0}

מתקבל לא בקצוות הקטע.
הוכיחו כי

f (x)

לא מתאפסת בקטע

[a, b]

.

ב. נגדיר

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

לכל

n \in N

.
הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותהוכחהחסימותטוריםבדיקת התכנסותאינטגרלים לא אמיתיים

א. הראו ש־

lim_{x \to \infty} \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{5}} = \infty

וחשבו את הגבול

x \to \infty lim \frac{1}{ln x} \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{5}}

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.
נגדיר פונקציה בשני משתנים

z (x, y) = f (x y)

כאשר

f

פונקציה במשתנה אחד גזירה ב־

R

.
הוכיחו כי לכל

(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}

מתקיים

p_{x y} (x_{0}, y_{0}) = p_{y x} (x_{0}, y_{0})

.

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.
הראו שאם בטור חזקות

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

יש אינסוף מקדמים

a_{n}

שונים מאפס, אז הוא לא מתכנס במידה שווה ב־

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותגבולותאינטגרביליות

א. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n l n n} x^{n}

מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו.

ב. מצאו את כל הפונקציות

f (x)

אינטגרביליות בקטע

[0, t]

לכל

0 < t

ומקיימות

\int_{0}^{t} f (x) d x = cos t

לכל

0 < t

, או הסבירו מדוע לא קיימת פונקציה

f (x)

כזו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותהתכנסות במידה שווהרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותאינטגרליםאינטגרביליותגבולותחסימותהוכחה

שאלות בדיקת התכנסות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא בדיקת התכנסות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא בדיקת התכנסות.