איך לתרגל שאלות נגזרות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות נגזרות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות נגזרות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות נגזרות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על נגזרות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

נגזרות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא נגזרות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - נגזרות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של נגזרות

רמת קושי:

א. תהי

f (x)

גזירה פעמיים בקטע

[a, b]

.
נסמן

M_{2} = sup {∣ f^{(2)} (x) ∣ : x \in [a, b]}

M_{0} = max {∣ f (x) ∣ : x \in [a, b]}

.
ידוע ש־

2 M_{0} \geq M_{2} (b - a)^{2}

והערך

M_{0}

מתקבל לא בקצוות הקטע.
הוכיחו כי

f (x)

לא מתאפסת בקטע

[a, b]

.

ב. נגדיר

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

לכל

n \in N

.
הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותהוכחהחסימותטוריםבדיקת התכנסותאינטגרלים לא אמיתיים

א. תהי

f (x)

פונקציה גזירה פעמיים בקטע

[0, 1]

כך ש־

f (0) = f (1)

ו־

∣ f^{''} (x) ∣ \leq A

לכל

0 \leq x \leq 1

. הוכיחו כי

∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{A}{2}

לכל

x \in [0, 1]

.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

תהי

f (x, y)

דיפרנציאבילית בנקודה

p_{0}

ומקיימת:

(D_{u} f) (p_{0}) = - 5

כאשר

u = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

;

(D_{v} f) (p_{0}) = 10

כאשר

v = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})

.
מצאו את הגרדיאנט של

f

בנקודה

p_{0}

.

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

תהי

f (x)

רציפה בכל אחד מהקטעים

(1, 2), (2, 3), (3, 4)

ומקיימת

∣ f (x) ∣ \leq 4

לכל

x \in [1, 4]

. הראו כי

\int_{1}^{4} \frac{f ( x )}{x ^{2}} d x \leq 3

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותנגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםהוכחהחסימותאי-שוויונותאינטגרליםאינטגרביליות

א. נסחו את משפט הערך הממוצע.

ב. תהי

f : R^{n} \to R^{n}

פונקציה גזירה ברציפות. נגדיר פונקציה

g : R^{n} \to R^{n}

על ידי

g (x) = f (x) - x

לכל

x \in R^{n}

. נניח כי לכל

x \in R^{n}

ולכל וקטור יחידה

v \in R^{n}

מתקיים

∥ d_{x} f (v) ∥ < 1

. הוכיחו כי

g

היא חד-חד-ערכית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משפט הערך הממוצענגזרותהוכחה

א. תהי

f (x)

פונקציה בעלת נגזרת שלישית בקטע

[- 1, 1]

ומקיימת:

f (0) = f (- 1) = 0

f (1) = 1

f^{'} (0) = 0

. הוכיחו כי קיימת נקודה

c

בקטע

[- 1, 1]

כך ש-

f^{(3)} (c) \geq 3

.

ב. חשבו את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה

f (x) = \frac{1}{e ^{x} - e ^{- x}}

לציר ה-

x

בקטע

[0, \frac{1}{2}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

נוסחת טיילורשגיאת קירובנגזרותהוכחהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםשטח בין עקומות

נסחו את כלל השרשרת.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן דוגמה · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

נגזרותגזירות

א. חשבו את הגבול הבא:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int _{0}^{x^{2}} s i n ( t ^{2} ) d t}{x ^{6}}

.

ב. מצאו את תחום ההתכנסות של הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{n} x^{n}

וקבעו אם הוא מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

גבולותאינטגרליםנגזרותטור חזקותרדיוס התכנסותהתכנסות במידה שווהבדיקת התכנסות

א. תהי

f

פונקציה גזירה 2024 פעמים בנקודה

x = π

ומקיימת

f^{(2024)} (π) = 20475

f (π) = f^{'} (π) = f^{''} (π) = \dots = f^{(2023)} (π) = 0

. (שימו לב: לא נתון ש-

f^{(2024)} (x)

מוגדרת עבור

x \neq = π

).

חשבו את הגבול

lim_{x \to π} \frac{f ( x ) - f ( π )}{( x - π ) ^{2024}}

.

ב. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{s i n ^{2} n}{n l n n} + \frac{c o s 3 n}{l n n})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

גבולותנגזרותנוסחת טיילורטוריםבדיקת התכנסות

א. נסחו את כלל השרשרת.

ב. תהי

g : R^{2} \to R

פונקציה דיפרנציאבילית ונגדיר

f : R^{2} ∖ {0} \to R

על ידי

f (x) = g (\frac{x}{∥ x ∥})

לכל

x \in R^{2} ∖ {0}

. הוכיחו כי

f

דיפרנציאבילית ב-

x

וחשבו את

d_{x} f (x)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

נגזרותגזירותפונקציות של שני משתניםהוכחה

א. נתונה פונקציה

f : [a, b] \to R

רציפה. הוכיחו כי

n \to \infty lim (\int_{a}^{b} ∣ f ∣^{n})^{1/ n} = [a, b] max ∣ f ∣.

ב. נתונה פונקציה

f : [0, \infty) \to R

גזירה וחיובית, וקיים וסופי הגבול

L = lim_{x \to \infty} (ln f)^{'} (x)

עם

L < 0

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםרציפותגבולותחסימותהוכחהנגזרותמשפט הערך הממוצעבדיקת התכנסות

א. נסחו את משפט פרמה.

ב. תהי

f : R^{n} \to R

פונקציה ותהי

x_{0} \in R^{n}

נקודה. נניח כי

f (x_{0}) = 0

. נגדיר

g : R^{n} \to R

על ידי

g (x) = ∣ f (x) ∣

לכל

x \in R^{n}

. הוכיחו כי אם

g

דיפרנציאבילית ב-

x_{0}

אז

f

דיפרנציאבילית ב-

x_{0}

וחשבו את

d_{x_{0}} f

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

נגזרותגזירותפונקציות של שני משתניםהוכחה

שאלות נגזרות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא נגזרות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא נגזרות.