איך לתרגל שאלות גזירות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות גזירות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות גזירות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות גזירות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על גזירות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

גזירות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא גזירות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - גזירות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של נגזרות

רמת קושי:

א. בדקו אם הטור הבא מתכנס:

n = 1 \sum \infty cos n \cdot \frac{( n + 1 ) ^{n}}{n ^{n + 1}} + (- 1)^{n} (\frac{2 n - 1}{1 + 3 n})^{n}

ב. תהי

f (x)

גזירה אינסוף פעמים ב-

R

, וקיים

M

כך ש-

∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq M

לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי. הוכיחו: אם קיימת נקודה

a

כך ש-

f^{(k)} (a) = 0

לכל

k = 0, 1, \dots

, אז

f (x) = 0

לכל

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהתכנסות בהחלטהסכמת אבלנוסחת טיילורשגיאת קירובגזירותהוכחה

א. חשבו את האינטגרל

\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{5} + x ^{2} + 1 + a r c s i n x}{x ^{2} + 1} d x

.

ב. תהי

(a_{n})

סדרת מספרים אי-שליליים עבורה הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ln (1 + n x)

מתכנס לכל

x \in [0, 1]

. נגדיר פונקציה

f (x)

בקטע

[0, 1]

על-ידי

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ln (1 + n x)

. הוכיחו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n a _{n}}{1 + n x}

מתכנס עבור כל

x \in [0, 1]

וסכומו פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

, אז

f (x)

גזירה ב-

[0, 1]

ולכל

x \in [0, 1]

מתקיים

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n a _{n}}{1 + n x}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרציה בחלקיםפונקציה זוגית ואי-זוגיתטור פונקציותגזירותהתכנסות במידה שווההוכחהמשפט דיני

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה וחיובית בקטע

(0, \infty)

. נגדיר

g (x) = \frac{\int _{0}^{x} t f ( t ) d t}{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}

לכל

x > 0

.
הראו כי

g (x)

מוגדרת היטב לכל

x > 0

ולא יורדת ב-

(0, \infty)

.

(למי ששכח: פונקציה לא יורדת מוגדרת בהגדרה 1.14)

ב. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 0}^{\infty} (ln x)^{n}

מתכנס במידה שווה בקטע

[\frac{2}{e ^{2}}, 2]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהבדיקת התכנסותטורים

א. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

a

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n + 2 - n - 2}{n ^{a}}

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שאינם למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

נגדיר

f (x, y) = {\frac{x s i n y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

בדקו אם

f

דיפרנציאבילית ב-(0,0).

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

השתמשו בפיתוח מקלורן של הפונקציה

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - c o s t}{t} d t

על מנת לחשב את

\int_{0}^{1} \frac{1 - c o s t}{t} d t

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

הערה: האינטגרנד אמנם לא מוגדר עבור

t = 0

, אך

f (x)

מוגדרת היטב, בהתאם לסעיף 3.1.2 בספר הלימוד.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותפונקציות של שני משתניםגזירותנגזרות חלקיותגבולותטור חזקותמקלורןאינטגרליםשגיאת קירובטור לייבניץ

א. הראו שאם

f (x)

פונקציה רציפה ב-

R

ואי-זוגית (כלומר,

f (- x) = - f (x)

לכל

x

), אז לכל

a \in R

האינטגרל הבלתי מסוים

F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

הוא פונקציה זוגית (כלומר,

F_{a} (- x) = F_{a} (x)

לכל

x

).

ב. קבעו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{( n + 1 ) s i n \frac{x}{n + 1} - n s i n \frac{x}{n}}{x})

מתכנס במידה שווה בקטע

[1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהסדרת פונקציותבדיקת התכנסות

א. בדקו אם האינטגרל הבא מתכנס:

\int_{0}^{\infty} \frac{sin ^{2} x}{x ^{2} ln ( 1 + x )} d x

ב. תהי

f (x)

גזירה 20475 פעמים באפס,

f (0) = f^{'} (0) = f^{''} (0) = \dots = f^{(20474)} (0) = 0

ו־

f^{(20475)} (0) = 20475

. חשבו את

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( - x )}{x ^{20475}}

שימו לב: מהנתון לא נובע ש־

f

גזירה 20475 פעמים בנקודות שונות מאפס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותנוסחת טיילורמקלורןגבולותגזירות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. סדרת הפונקציות

f_{n} (x) = n^{3} x^{n} (1 - x)^{4}

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, 1]

.

ב. אם

f (x)

רציפה בקטע

(0, \infty]

והאינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס, אז האינטגרל

\int_{2}^{\infty} \frac{f ( x )}{ln x} d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. אם

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

מתכנס לכל

x \in [- 1, 1]

והטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} = f^{'} (1)

, אז

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} = f^{'} (1)

.

הערה: אם

f

לא מוגדרת עבור

x > 1

אז הכוונה היא לנגזרת חד-צדדית.

ב. תהיינה

f, g

פונקציות רציפות ב-

(0, \infty]

. אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט ו-

g (x) \leq ∣ f (x) ∣

לכל

x \geq 0

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} g (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טור חזקותהסכמת אבלגזירותהוכחהאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטהפרכהבדיקת התכנסות

א. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות גזירות המתכנסת נקודתית בקטע

[a, b]

לפונקציה גזירה

f (x)

. נניח ש-

f_{n}^{'} (x) \geq f^{'} (x)

לכל

x \in [a, b]

ולכל

n

.
הוכיחו כי

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה ב-

[a, b]

.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

n \to \infty lim \frac{n e ^{\frac{1}{n}} cos \frac{1}{n} - ( n + 1 )}{n ( tan \frac{1}{n} - sin \frac{1}{n} )}

שימו לב: מדובר בגבול של סדרה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותהוכחהגבולותנוסחת טיילורמקלורןסדרות

נסחו את כלל השרשרת.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן דוגמה · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

נגזרותגזירות

שאלות גזירות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא גזירות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא גזירות.