איך לתרגל שאלות סדרת פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות סדרת פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות סדרת פונקציות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות סדרת פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על סדרת פונקציות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

סדרת פונקציות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא סדרת פונקציות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - סדרת פונקציות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של סדרות

רמת קושי:

(א) (12 נקודות.) נתונה

f (x) = \frac{1}{1 + s i n x}

כאשר

f : (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \to R

. מיצאו את

\int f (x) d x

.
(ההצבה

t = tan \frac{x}{2}

מועילה בשאלות רבות מסוג זה.)

(ב) (15 נקודות.) תהי

f : [0, 1] \to R

פונקציה מונוטונית עולה ממש המקיימת

f (0) = 0

ו-

f (1) = 1

. הוכיחו:

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} (f (x))^{n} d x = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםשינוי משתנהסדרת פונקציותגבולותהוכחהחסימותאי-שוויונות

א. סדרת הפונקציות

(f_{n} (x))

מוגדרת לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי על-ידי

f_{n} (x) = \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}}

. בדקו אם מתקיים השוויון

n \to \infty lim \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} n \to \infty lim f_{n} (x) d x

ב. יהי

a_{n} > 0

לכל

n

. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס אם ורק אם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - e^{- a_{n}})

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותאינטגרליםגבולותטוריםבדיקת התכנסותהוכחה

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. אם

f (x)

מוגדרת בקטע

[- 2025, 2025]

ורציפה ב־

x = 0

, אז סדרת הפונקציות

(f (\frac{x}{n}))_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת במידה שווה בקטע

[- 2025, 2025]

.

ב. אם

f (x)

אינטגרבילית ב־

[0, t]

לכל

0 < t

והפונקציה

F (t) = \int_{0}^{t} f (x) d x

חסומה ב־

[0, \infty)

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהרציפותהוכחה

א. קבעו אם האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{s i n ( 3 x ) \cdot c o s ( x ^{2} )}{x ^{3}} d x

.

ב. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות המוגדרות באופן הבא:

f_{1} (x) = 1

ולכל

n \geq 1

ו־

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) tan x

. הראו שהסדרה

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, \frac{π}{4}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסותסדרת פונקציותהתכנסות במידה שווההוכחה

א. הראו שאם

f (x)

פונקציה רציפה ב-

R

ואי-זוגית (כלומר,

f (- x) = - f (x)

לכל

x

), אז לכל

a \in R

האינטגרל הבלתי מסוים

F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

הוא פונקציה זוגית (כלומר,

F_{a} (- x) = F_{a} (x)

לכל

x

).

ב. קבעו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{( n + 1 ) s i n \frac{x}{n + 1} - n s i n \frac{x}{n}}{x})

מתכנס במידה שווה בקטע

[1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהסדרת פונקציותבדיקת התכנסות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. סדרת הפונקציות

f_{n} (x) = n^{3} x^{n} (1 - x)^{4}

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, 1]

.

ב. אם

f (x)

רציפה בקטע

(0, \infty]

והאינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס, אז האינטגרל

\int_{2}^{\infty} \frac{f ( x )}{ln x} d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסות

א. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות גזירות המתכנסת נקודתית בקטע

[a, b]

לפונקציה גזירה

f (x)

. נניח ש-

f_{n}^{'} (x) \geq f^{'} (x)

לכל

x \in [a, b]

ולכל

n

.
הוכיחו כי

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה ב-

[a, b]

.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

n \to \infty lim \frac{n e ^{\frac{1}{n}} cos \frac{1}{n} - ( n + 1 )}{n ( tan \frac{1}{n} - sin \frac{1}{n} )}

שימו לב: מדובר בגבול של סדרה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותהוכחהגבולותנוסחת טיילורמקלורןסדרות

תהי

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

סדרת פונקציות על

R

. נניח כי טור המספרים

\sum_{n = 1}^{\infty} sup_{x \in R} ∣ f_{n + 1} (x) - f_{n} (x) ∣

מתכנס. הוכיחו כי

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווההוכחה

נתונה סדרת פונקציות

f_{n} : [0, \infty) \to R

המוגדרת על ידי

f_{n} (x) = x + \frac{x ^{2}}{n}

.

(א) האם הסדרה

f_{n}

מתכנסת בנקודה לפונקציה

f

ב-

[0, \infty)

?

(ב) האם הסדרה

f_{n}

מתכנסת בהחלט ב-

[0, 1]

?

(ג) האם הסדרה

f_{n}

מתכנסת בהחלט ב-

[1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווההתכנסות בהחלטגבולות

א. תהי

f : (0, + \infty) \to R

פונקציה. נגדיר סדרת פונקציות

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

על

(0, + \infty)

על ידי

f_{n} (x) = f (n x)

לכל

x \in (0, + \infty)

ולכל

n \in N^{+}

. נניח כי

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת במידה שווה לפונקציה

g : (0, + \infty) \to R

הנתונה על ידי

g (x) = 0

לכל

x \in (0, + \infty)

. הוכיחו כי לכל

x \in (0, + \infty)

מתקיים

f (x) = 0

.

ב. נגדיר סדרת פונקציות

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

על

R

על ידי

f_{n} (x) = \frac{x ^{n}}{n !}

לכל

n \in N^{+}

ולכל

x \in R

. קבעו האם טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

מתכנס במידה שווה בקטע

[0, 1]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווההוכחה

שאלות סדרת פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא סדרת פונקציות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא סדרת פונקציות.