איך לתרגל שאלות טור פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות טור פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות טור פונקציות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות טור פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על טור פונקציות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

טור פונקציות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא טור פונקציות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - טור פונקציות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

תהי

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

סדרת פונקציות על

R

. נניח כי טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

מתכנס במידה שווה על

R

. הוכיחו כי הסדרה

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת במידה שווה על

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

התכנסות במידה שווהטור פונקציותסדרת פונקציההוכחה

א. חשבו את האינטגרל

\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{5} + x ^{2} + 1 + a r c s i n x}{x ^{2} + 1} d x

.

ב. תהי

(a_{n})

סדרת מספרים אי-שליליים עבורה הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ln (1 + n x)

מתכנס לכל

x \in [0, 1]

. נגדיר פונקציה

f (x)

בקטע

[0, 1]

על-ידי

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ln (1 + n x)

. הוכיחו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n a _{n}}{1 + n x}

מתכנס עבור כל

x \in [0, 1]

וסכומו פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

, אז

f (x)

גזירה ב-

[0, 1]

ולכל

x \in [0, 1]

מתקיים

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n a _{n}}{1 + n x}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרציה בחלקיםפונקציה זוגית ואי-זוגיתטור פונקציותגזירותהתכנסות במידה שווההוכחהמשפט דיני

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה וחיובית בקטע

(0, \infty)

. נגדיר

g (x) = \frac{\int _{0}^{x} t f ( t ) d t}{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}

לכל

x > 0

.
הראו כי

g (x)

מוגדרת היטב לכל

x > 0

ולא יורדת ב-

(0, \infty)

.

(למי ששכח: פונקציה לא יורדת מוגדרת בהגדרה 1.14)

ב. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 0}^{\infty} (ln x)^{n}

מתכנס במידה שווה בקטע

[\frac{2}{e ^{2}}, 2]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהבדיקת התכנסותטורים

א. הראו שאם

f (x)

פונקציה רציפה ב-

R

ואי-זוגית (כלומר,

f (- x) = - f (x)

לכל

x

), אז לכל

a \in R

האינטגרל הבלתי מסוים

F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

הוא פונקציה זוגית (כלומר,

F_{a} (- x) = F_{a} (x)

לכל

x

).

ב. קבעו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{( n + 1 ) s i n \frac{x}{n + 1} - n s i n \frac{x}{n}}{x})

מתכנס במידה שווה בקטע

[1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהסדרת פונקציותבדיקת התכנסות

תהי

(u_{n} (x))

סדרה של פונקציות רציפות בקטע

[0, 1]

. נניח שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)

מתכנס במידה שווה ב-

[0, 1]

ולכל

x \in [0, 1]

מתקיים

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x) \leq 1

.

א. הוכיחו ש-

\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} u_{n} (x) d x \leq 1

.

ב. מצאו את כל הערכים של

a

ו-

b

עבורם מתכנס האינטגרל

\int_{0}^{π /2} \frac{d x}{( s i n x ^{2} ) ^{a} \cdot ( c o s x ) ^{b}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

הוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסות

נגדיר סדרת פונקציות

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

על

R

על ידי

f_{n} (x) = \frac{x ^{n}}{n !}

לכל

n \in N^{+}

ולכל

x \in R

. קבעו האם טור הפונקציות

n = 1 \sum \infty f_{n}

מתכנס במידה שווה בקטע

[0, 1]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

טור פונקציותהתכנסות במידה שווהמבחן M של ויירשטראס

נגדיר סדרת פונקציות

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

על

[0, 1]

על ידי

f_{n} (x) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{x + n ^{2/3}}

לכל

x \in [0, 1]

ולכל

n \in N^{+}

. הוכיחו כי טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

מתכנס במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן דוגמה · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

טור פונקציותהתכנסות במידה שווהמבחן M של ויירשטראסהוכחה

יהי

I \subset R

קטע מוכלל, ופונקציות

f, f_{n} : I \to R

וטור פונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

המתכנס במידה שווה ב־

I

. פתרו את הסעיפים הבאים:

.1 (12 נקודות) הוכיחו או הפריכו: אם נתון כי

f

רציפה ב־

I

אז הטור

n = 1 \sum \infty f (x) f_{n} (x)

מתכנס במידה שווה ב־

I

.

.2 (13 נקודות) הוכיחו או הפריכו: אם נתון כי

f

חסומה ב־

I

אז הטור

n = 1 \sum \infty f (x) f_{n} (x)

מתכנס במידה שווה ב־

I

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד מיוחד · 2024 · סמסטר א

★★★★★

טור פונקציותהתכנסות במידה שווהחסימותרציפותהוכחההפרכה

הוכיחו כי הפונקציה הנתונה על ידי הטור הבא

f (x) = n = 1 \sum \infty \frac{sin ( n x ^{2} )}{1 + n ^{3}}

גזירה ברציפות בכל

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד מיוחד · 2024 · סמסטר א

★★★★★

טור פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותרציפותמבחן M של ויירשטראסהוכחה

פתרו את הסעיפים הבאים:

.1 (12 נקודות) תהי

{f_{n}}

סדרה של פונקציות רציפות בקטע

[0, 1]

וגזירות בקטע

(0, 1)

כך שסדרת הנגזרות

{f_{n}^{'}}

חסומה במידה אחידה ב

(0, 1)

. הוכיחו כי אם

f_{n}

מתכנסת נקודתית ב

[0, 1]

אז הנגזרות

{f_{n}^{'}}

מתכנסת במידה שווה ב

[0, 1]

.

.2 (13 נקודות) הוכיחו כי הפונקציה הבאה

f (x) = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n + 1} ln (1 + \frac{x}{n}), x > - 1

גזירה עבור

- 1/2 < x

וחשבו

f^{'} (0)

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבבחינה לדוגמה · 2024 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות נקודתיתהתכנסות במידה שווהגזירותהפרכהטור פונקציותטור לייבניץבדיקת התכנסות

שאלות טור פונקציות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא טור פונקציות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא טור פונקציות.