איך לתרגל שאלות אי-שוויונות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות אי-שוויונות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אי-שוויונות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות אי-שוויונות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אי-שוויונות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

אי-שוויונות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אי-שוויונות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - אי-שוויונות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אי-שוויונות

רמת קושי:

א. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

(i) אם

f (x), g (x)

רציפות בקטע

[0, 1]

אז

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x \cdot \int_{0}^{1} g (x) d x

.

(ii) אם

f (x), g (x)

רציפות בקטע

[0, 1]

ו-

f (x) \leq g (x)

לכל

x \in [0, 1]

אז

\int_{0}^{1} f (x) d x \leq \int_{0}^{1} g (x) d x

.

ב. הראו כי ניתן לקרב את

tan x

על-ידי

x

כך ששגיאת הקירוב לא תעלה על

\frac{1}{4}

לכל

x

בקטע

[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרליםהפרכההוכחהרציפותאי-שוויונותנוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירוב

א. תהיינה

f (x), g (x)

פונקציות רציפות ב-

[0, \infty)

. הוכיחו: אם האינטגרלים

\int_{0}^{\infty} f (x)^{2} d x, \int_{0}^{\infty} g (x)^{2} d x

מתכנסים, אז גם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} (f (x) + g (x))^{2} d x

מתכנס.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

lim_{x \to 0} \frac{\int _{0}^{x} \frac{s i n t}{t} d t - t a n x}{2 x ( 1 - c o s x )}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהוכחהאי-שוויונותהתכנסות בהחלט

(א) (12 נקודות.) נתונה

f (x) = \frac{1}{1 + s i n x}

כאשר

f : (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \to R

. מיצאו את

\int f (x) d x

.
(ההצבה

t = tan \frac{x}{2}

מועילה בשאלות רבות מסוג זה.)

(ב) (15 נקודות.) תהי

f : [0, 1] \to R

פונקציה מונוטונית עולה ממש המקיימת

f (0) = 0

ו-

f (1) = 1

. הוכיחו:

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} (f (x))^{n} d x = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםשינוי משתנהסדרת פונקציותגבולותהוכחהחסימותאי-שוויונות

א. חשבו את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה

f (x) = \frac{x}{- 2 x - x ^{2}}

לציר ה־

x

בין

x = - 1

ל־

x = - \frac{1}{2}

.

ב. הוכיחו: אם

a_{n} > 0

לכל

n

והטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n}

מתכנס אז גם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n + 1}^{2}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

שטח בין עקומותאינטגרליםטוריםבדיקת התכנסותהוכחהאי-שוויונות

יהי

α

מספר אי-רציונלי. בכל אחד מהמקרים הבאים, הוכיחו כי, לכל

x \in R

N \to \infty lim \frac{1}{N} n = 0 \sum N - 1 f (x + n α π) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) d t .

(א) (10 נקודות.)

f (x) = e^{ik x}

כאשר

k \in Z

.

(ב) (7 נקודות.)

f (x) = \sum_{k = - m}^{m} a_{k} e^{ik x}

פולינום טריגונומטרי, כלומר,

f

הוא סכום סופי של אקספוננציאלים מרוכבים, כאשר

m \in N

ו-

a_{k} \in C

.

(ג) (10 נקודות.)

f \in C (T)

, כלומר,

f : R \to C

רציפה ומקיימת

f (x + 2 π) = f (x)

לכל

x \in R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הוכחהרציפותגבולותחסימותאי-שוויונותטור פורייההתכנסות במידה שווה

א. תהי

f (x)

פונקציה גזירה פעמיים בקטע

[0, 1]

כך ש־

f (0) = f (1)

ו־

∣ f^{''} (x) ∣ \leq A

לכל

0 \leq x \leq 1

. הוכיחו כי

∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{A}{2}

לכל

x \in [0, 1]

.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

תהי

f (x, y)

דיפרנציאבילית בנקודה

p_{0}

ומקיימת:

(D_{u} f) (p_{0}) = - 5

כאשר

u = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

;

(D_{v} f) (p_{0}) = 10

כאשר

v = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})

.
מצאו את הגרדיאנט של

f

בנקודה

p_{0}

.

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

תהי

f (x)

רציפה בכל אחד מהקטעים

(1, 2), (2, 3), (3, 4)

ומקיימת

∣ f (x) ∣ \leq 4

לכל

x \in [1, 4]

. הראו כי

\int_{1}^{4} \frac{f ( x )}{x ^{2}} d x \leq 3

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותנגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםהוכחהחסימותאי-שוויונותאינטגרליםאינטגרביליות

א. הראו (ללא שימוש במחשבון, כמובן) ש-

\int_{0}^{π} e^{- x} cos^{2} x d x \leq \int_{π}^{2 π} e^{- x} cos^{2} x d x

הארה: אל תנסו לחשב את האינטגרלים (כי לא ניתן לעשות את זה בכלים של הקורס שלנו), מצאו דרך להשוות אותם בלי לחשב אותם.

ב. קבעו אם האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{sin ( x + 1 )}{x} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהתכנסות בתנאיהתכנסות בהחלטהוכחהאי-שוויונות

תהי

f (x)

גזירה 3 פעמים בקטע

[0, 3]

∣ f^{(3)} (x) ∣ \leq 6

לכל

x \in [0, 3]

, ו-

x = 1

נקודת קיצון של

f

. הראו כי לכל

x \in [0, 3]

מתקיים:

∣ f^{'} (x) - f^{''} (1) (x - 1) ∣ \leq 3 (x - 1)^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילוראי-שוויונותהוכחה

נסמן ב-

{t} = t - [t] \in [0, 1)

את החלק השברי של

t

.

א. הוכיחו כי קיים אינטגרל רימן

\int_{0}^{n} {x^{2}} d x

, ושמתקיים

\int_{0}^{n} {x^{2}} d x \leq n

לכל

n

טבעי.

ב. הוכיחו שקיים

c > 0

כך שלכל

n

טבעי מתקיים

\int_{0}^{n} {x^{2}} d x \geq c n

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרביליותחסימותאי-שוויונותהוכחההפרכה

תהי

f (x)

בעלת נגזרת רציפה בקטע

[0, 1]

המקיימת

f (1) = 1

ו-

f (x) \geq x

לכל

x \in [0, 1]

. הוכיחו כי:

\int_{0}^{1} x^{2} f^{'} (x) d x \leq \frac{1}{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרציה בחלקיםאי-שוויונותהוכחה

שאלות אי-שוויונות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא אי-שוויונות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אי-שוויונות.