איך לתרגל שאלות טור לייבניץ באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות טור לייבניץ באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות טור לייבניץ יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות טור לייבניץ באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על טור לייבניץ לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

טור לייבניץ הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא טור לייבניץ הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - טור לייבניץ

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

בשאלה זו יש שני סעיפי ב. אם בחרתם לענות על שאלה זו, עליכם לענות על אחד מסעיפי ב, בהתאם לסמסטר בו למדתם את הקורס (אם הייתם רשומים לקורס "חשבון אינפיניטסימלי 2" כמה פעמים, אז הכוונה היא לסמסטר האחרון בו הייתם רשומים לקורס זה):

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה בקטע

[0, 1)

ומתקיים

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} f^{2} (x) = π

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{0}^{1} f (x) d x

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.
נגדיר

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s i n ( x ^{2} ) - s i n ( y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

האם

f

רציפה בנקודה

(0, 0)

?
האם

f

דיפרנציאבילית בנקודה

(0, 0)

?

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.
היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים של הפונקציה

1 + x^{2}

על מנת לחשב

1.01

בדיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה, כלומר כך שהשגיאה לא תעלה על

0.5 \cdot 1 0^{- 4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהוכחהטור חזקותמקלורןשגיאת קירובנוסחת טיילורטור לייבניץ

א. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

a

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n + 2 - n - 2}{n ^{a}}

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שאינם למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

נגדיר

f (x, y) = {\frac{x s i n y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

בדקו אם

f

דיפרנציאבילית ב-(0,0).

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

השתמשו בפיתוח מקלורן של הפונקציה

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - c o s t}{t} d t

על מנת לחשב את

\int_{0}^{1} \frac{1 - c o s t}{t} d t

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

הערה: האינטגרנד אמנם לא מוגדר עבור

t = 0

, אך

f (x)

מוגדרת היטב, בהתאם לסעיף 3.1.2 בספר הלימוד.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותפונקציות של שני משתניםגזירותנגזרות חלקיותגבולותטור חזקותמקלורןאינטגרליםשגיאת קירובטור לייבניץ

א. הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:

(i) קיים טור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

שהטור מתכנס כך שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (a_{n} + 1)

מתבדר.

(ii) קיים טור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

שהטור מתבדר כך שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (a_{n} + 1)

מתכנס.

ב. חשבו את נפחו של גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב סביב ציר ה-

x

של התחום המוגבל על-ידי גרף הפונקציה

f (x) = \frac{1}{e ^{x} + 1}

וציר ה-

x

בקטע

[0, ln 3]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםהתכנסות בתנאיטור לייבניץבדיקת התכנסותהוכחההפרכהאינטגרליםנפח גוף סיבוב

פתרו את הסעיפים הבאים:

.1 (12 נקודות) תהי

{f_{n}}

סדרה של פונקציות רציפות בקטע

[0, 1]

וגזירות בקטע

(0, 1)

כך שסדרת הנגזרות

{f_{n}^{'}}

חסומה במידה אחידה ב

(0, 1)

. הוכיחו כי אם

f_{n}

מתכנסת נקודתית ב

[0, 1]

אז הנגזרות

{f_{n}^{'}}

מתכנסת במידה שווה ב

[0, 1]

.

.2 (13 נקודות) הוכיחו כי הפונקציה הבאה

f (x) = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n + 1} ln (1 + \frac{x}{n}), x > - 1

גזירה עבור

- 1/2 < x

וחשבו

f^{'} (0)

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבבחינה לדוגמה · 2024 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות נקודתיתהתכנסות במידה שווהגזירותהפרכהטור פונקציותטור לייבניץבדיקת התכנסות

תהי

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

סדרת מספרים יורדת שכל איבריה שונים מאפס. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

מתכנס אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: לכל

ε > 0

קיים

N

כך ש-

0 < a_{N} < ε

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2024 · סמסטר א

★★★★★

טוריםטור לייבניץסדרותהוכחה

קבעו לאלו ערכים של

x

הטור הבא מתכנס:

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} ( 2 x + 4 ) ^{3 n + 1}}{3 n ^{2} + n \cdot 8 ^{n}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילן2021 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותטור לייבניץ

א. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

n = 1 \sum \infty cos (π n) (\frac{π}{2} - arctan (π n))

ב. הוכיחו שאם

f (x)

פונקציה רציפה ואי-שלילית בקטע

[0, 1]

ו-

α

מספר ממשי חיובי, אז

x \to 0^{+} lim x^{α} \int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t ^{α}} d t = \frac{f ( 0 )}{α}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2020 · סמסטר ג

★★★★★

טוריםטור לייבניץהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםגבולותכלל לופיטלהפרכה

2. תהי

h : [0, \infty) \to [0, \infty)

פונקציה הקיימת כך שכל

h (x) ↑ \infty

ו-

h^{'} (x) ↑ \infty

כאשר

x \to \infty

.
קבע האם האינטגרל הבא מתכנס:

\int_{0}^{\infty} (- 1)^{[h (x)]} d x

כאשר

[t]

מסמן את הערך השלם של

t

(הגדרה בסטנדרטית של הערך השלם של

t

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2020 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותטוריםטור לייבניץמשפט הערך הממוצעהוכחה

תהיינה

(a_{n})

(b_{n})

סדרות מונוטוניות וחסומות. הוכיחו כי אם לפחות אחת מהן אפסה, אז הטור

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} a_{n} b_{n}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהסכמת אבלטור לייבניץסדרותחסימותהוכחה

א. מצאו את כל הערכים של

p

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n ( l n n ) ^{p}}

מתכס במידה שווה בתחום התכסותו.

ב. גדיר

f (x) = \frac{x}{1 - x}

כאשר

x \in Q

f (x) = 1

כאשר

x \in / Q

. בדקו אם

f

איטגרבילית ב-

[0, 1]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותהתכנסות במידה שווהרדיוס התכנסותמבחן M של ויירשטראסהסכמת אבלבדיקת התכנסותטור לייבניץאינטגרביליותחסימות

שאלות טור לייבניץ באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא טור לייבניץ ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא טור לייבניץ.