איך לתרגל שאלות מקלורן באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מקלורן באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מקלורן יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מקלורן באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מקלורן לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

מקלורן הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מקלורן הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - מקלורן

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של נוסחת טיילור

רמת קושי:

א. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

(i) אם

f (x), g (x)

רציפות בקטע

[0, 1]

אז

\int_{0}^{1} f (x) g (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x \cdot \int_{0}^{1} g (x) d x

.

(ii) אם

f (x), g (x)

רציפות בקטע

[0, 1]

ו-

f (x) \leq g (x)

לכל

x \in [0, 1]

אז

\int_{0}^{1} f (x) d x \leq \int_{0}^{1} g (x) d x

.

ב. הראו כי ניתן לקרב את

tan x

על-ידי

x

כך ששגיאת הקירוב לא תעלה על

\frac{1}{4}

לכל

x

בקטע

[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

אינטגרליםהפרכההוכחהרציפותאי-שוויונותנוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירוב

א. נניח ש־

f (x)

אינטגרבילית בכל קטע וקיימים

a, b

אי־שליליים כך ש־

\int_{0}^{a} f (x) d x > sin^{2} a, \int_{b}^{0} f (x) d x > cos^{2} b

(כאשר

1 + \int_{b}^{0} f (x) d x > cos^{2} b

).
הראו כי קיים

x_{0} \neq = 0

כך ש־

\int_{0}^{x} f (t) - sin (2 t) d t = 0

.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

x \to 0 lim \frac{x sin x - x ^{2}}{e ^{x^{2}} - 3 + 2 cos x}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםרציפותהוכחהגבולותנוסחת טיילורמקלורן

בשאלה זו יש שני סעיפי ב. אם בחרתם לענות על שאלה זו, עליכם לענות על אחד מסעיפי ב, בהתאם לסמסטר בו למדתם את הקורס (אם הייתם רשומים לקורס "חשבון אינפיניטסימלי 2" כמה פעמים, אז הכוונה היא לסמסטר האחרון בו הייתם רשומים לקורס זה):

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה בקטע

[0, 1)

ומתקיים

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} f^{2} (x) = π

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{0}^{1} f (x) d x

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.
נגדיר

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s i n ( x ^{2} ) - s i n ( y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

האם

f

רציפה בנקודה

(0, 0)

?
האם

f

דיפרנציאבילית בנקודה

(0, 0)

?

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.
היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים של הפונקציה

1 + x^{2}

על מנת לחשב

1.01

בדיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה, כלומר כך שהשגיאה לא תעלה על

0.5 \cdot 1 0^{- 4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהוכחהטור חזקותמקלורןשגיאת קירובנוסחת טיילורטור לייבניץ

א. נגדיר

f (x) = x sinh x

(תזכורת:

sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

). מצאו קירוב ל־

f (0.1)

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

ב. תהי

f (x)

פונקציה רציפה בקטע

(0, \infty]

. הוכיחו כי

a \to 0^{+} lim \int_{a}^{2 a} \frac{f ( x )}{x} d x = f (0) ln 2

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

נוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירובאינטגרליםגבולותרציפותהוכחה

א. הסדרה

(a_{n})

מוגדרת באופן הבא:

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \int_{0}^{1} a_{n} x^{n} d x לכל n \geq 1

מצאו את סכום הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

.

ב. תהי

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

ונניח שהטור

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

מתכנס. נגדיר

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

הראו כי

F (1) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרותאינטגרליםטוריםמקלורןטור חזקותהסכמת אבלהוכחה

א. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

a

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n + 2 - n - 2}{n ^{a}}

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שאינם למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

נגדיר

f (x, y) = {\frac{x s i n y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

בדקו אם

f

דיפרנציאבילית ב-(0,0).

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

השתמשו בפיתוח מקלורן של הפונקציה

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - c o s t}{t} d t

על מנת לחשב את

\int_{0}^{1} \frac{1 - c o s t}{t} d t

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

הערה: האינטגרנד אמנם לא מוגדר עבור

t = 0

, אך

f (x)

מוגדרת היטב, בהתאם לסעיף 3.1.2 בספר הלימוד.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותפונקציות של שני משתניםגזירותנגזרות חלקיותגבולותטור חזקותמקלורןאינטגרליםשגיאת קירובטור לייבניץ

א. בדקו אם האינטגרל הבא מתכנס:

\int_{0}^{\infty} \frac{sin ^{2} x}{x ^{2} ln ( 1 + x )} d x

ב. תהי

f (x)

גזירה 20475 פעמים באפס,

f (0) = f^{'} (0) = f^{''} (0) = \dots = f^{(20474)} (0) = 0

ו־

f^{(20475)} (0) = 20475

. חשבו את

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( - x )}{x ^{20475}}

שימו לב: מהנתון לא נובע ש־

f

גזירה 20475 פעמים בנקודות שונות מאפס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותנוסחת טיילורמקלורןגבולותגזירות

א. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות גזירות המתכנסת נקודתית בקטע

[a, b]

לפונקציה גזירה

f (x)

. נניח ש-

f_{n}^{'} (x) \geq f^{'} (x)

לכל

x \in [a, b]

ולכל

n

.
הוכיחו כי

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה ב-

[a, b]

.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

n \to \infty lim \frac{n e ^{\frac{1}{n}} cos \frac{1}{n} - ( n + 1 )}{n ( tan \frac{1}{n} - sin \frac{1}{n} )}

שימו לב: מדובר בגבול של סדרה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותהוכחהגבולותנוסחת טיילורמקלורןסדרות

היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול הבא:

x \to 0 lim \frac{x tan x - e ^{x^{2}} + 1}{( 1 - cos x ) ^{2}}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מקלורןגבולות

א. תהי

f (x)

אינטגרבילית בהחלט ב-

(0, \infty]

ו-

f^{'} (x)

רציפה וחסומה ב-

(0, \infty]

. הוכיחו כי

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

.

הדרכה. נסו לחשוב על השאלות הבאות, זה יכול לעזור בפתרון: מהי קדומה של

f (x) f^{'} (x)

? האם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) f^{'} (x) d x

מתכנס?

ב. השתמשו בפיתוח מקלורן של

tan x

מסדר מתאים כדי להראות ש-

\frac{8 x ^{3}}{3} \geq tan x - x \geq \frac{x ^{3}}{3}

לכל

x \in [0, π /4]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםהוכחהגבולותחסימותגזירותנוסחת טיילורמקלורןשגיאת קירובאי-שוויונות

שאלות מקלורן באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא מקלורן ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מקלורן.