איך לתרגל שאלות טור חזקות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות טור חזקות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות טור חזקות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות טור חזקות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על טור חזקות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

טור חזקות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא טור חזקות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - טור חזקות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

א. מצאו את תחום ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

אם ידוע כי קיימים מספרים ממשיים

β > 0, L > 0

כך ש-

∣ a_{n} ∣^{β} n \to L

כאשר

n \to \infty

.

ב. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\sum_{n = 1}^{\infty} (cos n \cdot sin \frac{1}{n} + sin n \cdot sin \frac{1}{n ^{2}})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותטוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאי

א. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n l n n} x^{n}

מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו.

ב. מצאו את כל הפונקציות

f (x)

אינטגרביליות בקטע

[0, t]

לכל

0 < t

ומקיימות

\int_{0}^{t} f (x) d x = cos t

לכל

0 < t

, או הסבירו מדוע לא קיימת פונקציה

f (x)

כזו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותהתכנסות במידה שווהרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותאינטגרליםאינטגרביליותגבולותחסימותהוכחה

בשאלה זו יש שני סעיפי ב. אם בחרתם לענות על שאלה זו, עליכם לענות על אחד מסעיפי ב, בהתאם לסמסטר בו למדתם את הקורס (אם הייתם רשומים לקורס "חשבון אינפיניטסימלי 2" כמה פעמים, אז הכוונה היא לסמסטר האחרון בו הייתם רשומים לקורס זה):

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה בקטע

[0, 1)

ומתקיים

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} f^{2} (x) = π

. הוכיחו כי האינטגרל

\int_{0}^{1} f (x) d x

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.
נגדיר

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s i n ( x ^{2} ) - s i n ( y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

האם

f

רציפה בנקודה

(0, 0)

?
האם

f

דיפרנציאבילית בנקודה

(0, 0)

?

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.
היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים של הפונקציה

1 + x^{2}

על מנת לחשב

1.01

בדיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה, כלומר כך שהשגיאה לא תעלה על

0.5 \cdot 1 0^{- 4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסותהוכחהטור חזקותמקלורןשגיאת קירובנוסחת טיילורטור לייבניץ

תהי

{a_{n}}_{n = 0}^{\infty}

סדרת מספרים ממשיים ויהי

R \in (0, + \infty)

מספר חיובי. נניח כי

R

הוא רדיוס ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

. מצאו את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{( 2 n )!} x^{n}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותטורים

א. הסדרה

(a_{n})

מוגדרת באופן הבא:

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \int_{0}^{1} a_{n} x^{n} d x לכל n \geq 1

מצאו את סכום הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

.

ב. תהי

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

ונניח שהטור

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

מתכנס. נגדיר

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

הראו כי

F (1) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרותאינטגרליםטוריםמקלורןטור חזקותהסכמת אבלהוכחה

א. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

a

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n + 2 - n - 2}{n ^{a}}

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שאינם למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

נגדיר

f (x, y) = {\frac{x s i n y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

בדקו אם

f

דיפרנציאבילית ב-(0,0).

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

השתמשו בפיתוח מקלורן של הפונקציה

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - c o s t}{t} d t

על מנת לחשב את

\int_{0}^{1} \frac{1 - c o s t}{t} d t

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

הערה: האינטגרנד אמנם לא מוגדר עבור

t = 0

, אך

f (x)

מוגדרת היטב, בהתאם לסעיף 3.1.2 בספר הלימוד.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותפונקציות של שני משתניםגזירותנגזרות חלקיותגבולותטור חזקותמקלורןאינטגרליםשגיאת קירובטור לייבניץ

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. אם

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

מתכנס לכל

x \in [- 1, 1]

והטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} = f^{'} (1)

, אז

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} = f^{'} (1)

.

הערה: אם

f

לא מוגדרת עבור

x > 1

אז הכוונה היא לנגזרת חד-צדדית.

ב. תהיינה

f, g

פונקציות רציפות ב-

(0, \infty]

. אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט ו-

g (x) \leq ∣ f (x) ∣

לכל

x \geq 0

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} g (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טור חזקותהסכמת אבלגזירותהוכחהאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטהפרכהבדיקת התכנסות

א. חשבו את הגבול הבא:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int _{0}^{x^{2}} s i n ( t ^{2} ) d t}{x ^{6}}

.

ב. מצאו את תחום ההתכנסות של הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{n} x^{n}

וקבעו אם הוא מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

גבולותאינטגרליםנגזרותטור חזקותרדיוס התכנסותהתכנסות במידה שווהבדיקת התכנסות

הוכיחו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי, אז רדיוס ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

הוא

1

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותהוכחה

שאלה רביעית ־ 25 נקודות

פתרו את הסעיפים הבאים:

.1 (12 נקודות) חשבו את הגבול הבא

n \to \infty lim \int_{0}^{π /2} e^{- n s i n x} d x

.2 (13 נקודות) בעזרת טור טיילור מתאים או בכל דרך אחרת חשבו את סכום הטורים הבאים

(א)

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3 ^{n} ( n + 1 )}{n !}

(ב)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n ( n + 1 )}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

אינטגרליםגבולותסדרת פונקציותטוריםטור חזקותמקלורןאינטגרציה בחלקים

שאלות טור חזקות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא טור חזקות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא טור חזקות.