איך לתרגל שאלות סדרות באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות סדרות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות סדרות יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות סדרות באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על סדרות לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

סדרות הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא סדרות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - סדרות

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של סדרות

רמת קושי:

א. בהינתן סדרת מספרים

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

נגדיר

c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

.
הוכיחו שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}

מתכנס אם ורק אם הסדרה

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת לגבול סופי.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2} sin ( x ^{2} )}{2 ^{x}} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםסדרותהוכחהאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסות

תהי

f : [0, \infty) \to R

פונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סגור

[a, b]

של

[0, \infty)

.
אמת או שקר? נמקו:

(א) (13 נקודות.) "אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס בהחלט, אז בהכרח קיימת סדרה

x_{n} \to \infty

כך ש-

x_{n} f (x_{n}) \to 0

."

(ב) (14 נקודות.) "אם האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס, אז בהכרח קיימת סדרה

x_{n} \to \infty

כך ש-

x_{n} f (x_{n}) \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיהוכחההפרכהסדרות

יהי

(X, d)

מרחב מטרי.

תת קבוצה

A

של

X

היא קומפקטית אם ורק אם, לכל אוסף

{U_{i}}_{i \in I}

של תתי קבוצות פתוחות של

X

כך ש-

A \subseteq ⋃_{i \in I} U_{i}

, קיים תת אוסף סופי

{U_{i_{1}}, \dots, U_{i_{n}}}

כך ש-

A \subseteq U_{i_{1}} \cup \dots \cup U_{i_{n}}

.
(אין צורך להוכיח זאת.)

(א) (12 נקודות.) תהי

(x_{n})_{n = 1}^{\infty}

סדרה ב-

X

שמתכנסת לגבול

c

. הוכיחו שתת-הקבוצה

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \cup {c}

של

X

היא קומפקטית.

(ב) (15 נקודות.) נניח שכל תת-קבוצה קומפקטית של

X

היא סופית. הוכיחו ש-

X

הוא דיסקרטי (כלומר, כל תת-קבוצה של

X

היא פתוחה).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קומפקטיותסדרותהוכחהמרחב מטרי

א. תהיינה

(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})

סדרות של מספרים ממשיים כך ש-

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

לכל

n

טבעי.
הוכיחו שאם הטורים

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}

מתכנסים אז גם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

מתכנס.

הערה: הזהרו משימוש לא נכון במבחן ההשוואה: לא ידוע שום דבר על סימני המספרים

a_{n}, b_{n}, c_{n}

.

ב. חשבו את האינטגרל

\int_{1}^{2} sin^{2} (2 x - 3) d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהוכחהסדרות

א. הסדרה

(a_{n})

מוגדרת באופן הבא:

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \int_{0}^{1} a_{n} x^{n} d x לכל n \geq 1

מצאו את סכום הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

.

ב. תהי

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

ונניח שהטור

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

מתכנס. נגדיר

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

הראו כי

F (1) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרותאינטגרליםטוריםמקלורןטור חזקותהסכמת אבלהוכחה

א. הראו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי, אז קיימת תת-סדרה

(a_{n_{k}})

של הסדרה

(a_{n})

כך שהטור

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_{k}}

מתבדר.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{- \infty}^{\infty} sin (e^{x}) d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםהתכנסות בתנאיסדרותהוכחהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסותאינטגרציה בחלקים

א. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות גזירות המתכנסת נקודתית בקטע

[a, b]

לפונקציה גזירה

f (x)

. נניח ש-

f_{n}^{'} (x) \geq f^{'} (x)

לכל

x \in [a, b]

ולכל

n

.
הוכיחו כי

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה ב-

[a, b]

.

ב. היעזרו בפיתוח מקלורן מסדר מתאים על מנת לחשב את הגבול:

n \to \infty lim \frac{n e ^{\frac{1}{n}} cos \frac{1}{n} - ( n + 1 )}{n ( tan \frac{1}{n} - sin \frac{1}{n} )}

שימו לב: מדובר בגבול של סדרה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותהוכחהגבולותנוסחת טיילורמקלורןסדרות

יהיו

(X, d)

(Y, ρ)

מרחבים מטריים ותחתי פונקציה

f : X \to Y

.

אומרים ש-

f

רציפה (סדרתית) בנקודה

x_{0} \in X

אם ורק אם:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 : \forall x \in B (x_{0}, δ) \Rightarrow f (x) \in B (f (x_{0}), ε)

חשמן: קודם בחישוב את החדירה של רציפות סדרתית בנקודות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ג · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

רציפותסדרותהוכחהמרחב מטרי

יהי

(X, d)

מרחב מטרי ויהי

A \subset X

(15 נקודות).

(א) הגדירו את המושגים הבאים:

קבוצה $A$ היא סגורה בקטע $A \subset X$ .
קבוצה $A$ היא פתוחה — קבוצה פתוחה בנקודה $x \in X$ .

(ב) הגדירו כל אחד מהמושגים הבאים:

סדרה ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ שהיא סדרה קושי במרחק המטרי $(X, d), (X, d)$ .

עבור הוכחה או הפרכה — בחרו לפי הצורך.

(20 נקודות) .2

יהיו

f_{n} : I \to R

סדרת פונקציות רציפות בקטע פתוח

I \subset R

.

הגדירו:

f_{n} u f

על

I

— (התכנסות בתנאי).

אזכיר

f

— פונקציה רציפה ב

I

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

מרחב מטריקבוצות פתוחות וסגורותסדרותסדרת פונקציותהתכנסות במידה שווה

ענו על אחת מהשאלות בלבד.

שאלה שנייה ־ 35 נקודות

ענו על שני הסעיפים הבאים.

.1 (15 נקודות) הגדירו במדויק את המושגים הבאים:

(א) סכום דארבו עליון

\overset{ˉ}{Σ} (f, Π)

ותחתון

\underline{Σ} (f, Π)

של פונקציה

f : [a, b] \to R

ביחס לחלוקה

Π

של

[a, b]

.

(ב) אינטגרל לא אמיתי

\int_{0}^{\infty} f

של פונקציה

f : [0, \infty) \to R

אינטגרבילית לכל

0 < a

.

.2 (20 נקודות) הוכיחו את המשפט הבא: יהיו

(X, d)

(Y, ρ)

מרחבים מטריים, תהי

f : X \to Y

פונקציה. מתקיים ש

f

רציפה בנקודה

x_{0}

אם ורק אם לכל

0 < ε

קיים

0 < δ

כך שלכל

x \in B_{d} (x_{0}, δ)

מתקיים

f (x) \in B_{ρ} (f (x_{0}), ε)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

רציפותגבולותסדרותהוכחהאינטגרליםאינטגרלים לא אמיתייםאינטגרביליותמרחבים מטריים

שאלות סדרות באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא סדרות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא סדרות.