איך לתרגל שאלות טורים באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות טורים באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות טורים יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות טורים באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על טורים לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

טורים הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא טורים הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - טורים

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של טורים

רמת קושי:

א. ידוע כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס בתנאי והסדרה

(b_{n})

מוגדרת באופן הבא: אם

a_{n} \geq 0

אז

b_{n} = \frac{1}{2}

, ואם

a_{n} < 0

אז

b_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

מתבדר.

ב. פונקציה

f (x)

מוגדרת על-ידי

f (x) = {x^{2} sin (\frac{π x}{2}) 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 4

.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של

f (x)

בקטע

[0, 4]

לבין ציר ה-

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

התכנסות בתנאיבדיקת התכנסותטוריםהוכחהאינטגרליםשטח בין עקומות

א. מצאו את תחום ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

אם ידוע כי קיימים מספרים ממשיים

β > 0, L > 0

כך ש-

∣ a_{n} ∣^{β} n \to L

כאשר

n \to \infty

.

ב. קבעו לגבי הטור הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\sum_{n = 1}^{\infty} (cos n \cdot sin \frac{1}{n} + sin n \cdot sin \frac{1}{n ^{2}})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2025 · סמסטר ג

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותטוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאי

א. חשבו את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה

f (x) = \frac{x}{- 2 x - x ^{2}}

לציר ה־

x

בין

x = - 1

ל־

x = - \frac{1}{2}

.

ב. הוכיחו: אם

a_{n} > 0

לכל

n

והטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n}

מתכנס אז גם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n + 1}^{2}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

שטח בין עקומותאינטגרליםטוריםבדיקת התכנסותהוכחהאי-שוויונות

א. סדרת הפונקציות

(f_{n} (x))

מוגדרת לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי על-ידי

f_{n} (x) = \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}}

. בדקו אם מתקיים השוויון

n \to \infty lim \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} n \to \infty lim f_{n} (x) d x

ב. יהי

a_{n} > 0

לכל

n

. הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

מתכנס אם ורק אם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - e^{- a_{n}})

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותאינטגרליםגבולותטוריםבדיקת התכנסותהוכחה

א. בהינתן סדרת מספרים

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

נגדיר

c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

.
הוכיחו שהטור

\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}

מתכנס אם ורק אם הסדרה

(a_{n})_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת לגבול סופי.

ב. קבעו לגבי האינטגרל הבא אם הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2} sin ( x ^{2} )}{2 ^{x}} d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםסדרותהוכחהאינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסות

א. תהי

f (x)

גזירה פעמיים בקטע

[a, b]

.
נסמן

M_{2} = sup {∣ f^{(2)} (x) ∣ : x \in [a, b]}

M_{0} = max {∣ f (x) ∣ : x \in [a, b]}

.
ידוע ש־

2 M_{0} \geq M_{2} (b - a)^{2}

והערך

M_{0}

מתקבל לא בקצוות הקטע.
הוכיחו כי

f (x)

לא מתאפסת בקטע

[a, b]

.

ב. נגדיר

a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

לכל

n \in N

.
הוכיחו כי הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}}

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותהוכחהחסימותטוריםבדיקת התכנסותאינטגרלים לא אמיתיים

א. הוכיחו או הפריכו: הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} n ^{3}}{( l n n ) ^{n + 1}}

מתכנס בתנאי.

ב. אם

f (x)

אינטגרבילית בכל קטע

[0, t]

0 < t

ומקיימת

\int_{x}^{x + 1} f (t) d t \leq \frac{1}{x ^{2}}

לכל

0 < x

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיבדיקת התכנסותהפרכה

א. בדקו אם הטור הבא מתכנס:

n = 1 \sum \infty cos n \cdot \frac{( n + 1 ) ^{n}}{n ^{n + 1}} + (- 1)^{n} (\frac{2 n - 1}{1 + 3 n})^{n}

ב. תהי

f (x)

גזירה אינסוף פעמים ב-

R

, וקיים

M

כך ש-

∣ f^{(n)} (x) ∣ \leq M

לכל

x

ממשי ולכל

n

טבעי. הוכיחו: אם קיימת נקודה

a

כך ש-

f^{(k)} (a) = 0

לכל

k = 0, 1, \dots

, אז

f (x) = 0

לכל

x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהתכנסות בהחלטהסכמת אבלנוסחת טיילורשגיאת קירובגזירותהוכחה

תהי

{a_{n}}_{n = 0}^{\infty}

סדרת מספרים ממשיים ויהי

R \in (0, + \infty)

מספר חיובי. נניח כי

R

הוא רדיוס ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

. מצאו את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{( 2 n )!} x^{n}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותרדיוס התכנסותטורים

א. תהיינה

(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})

סדרות של מספרים ממשיים כך ש-

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

לכל

n

טבעי.
הוכיחו שאם הטורים

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}

מתכנסים אז גם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

מתכנס.

הערה: הזהרו משימוש לא נכון במבחן ההשוואה: לא ידוע שום דבר על סימני המספרים

a_{n}, b_{n}, c_{n}

.

ב. חשבו את האינטגרל

\int_{1}^{2} sin^{2} (2 x - 3) d x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותהוכחהסדרות

שאלות טורים באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא טורים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא טורים.