איך לתרגל שאלות פונקציות של שני משתנים באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות פונקציות של שני משתנים באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות פונקציות של שני משתנים יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות פונקציות של שני משתנים באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על פונקציות של שני משתנים לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

פונקציות של שני משתנים הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא פונקציות של שני משתנים הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - פונקציות של שני משתנים

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של פונקציות של שני משתנים

רמת קושי:

(שאלת בונוס עבור תלמידים המשתייכים לקבוצות

B

ו-

C

.) חשבו את הגבול

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} sin y + y ^{2} sin x}{x y} .

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

גבולותפונקציות של שני משתנים

(שאלת בונוס עבור תלמידים המשתייכים לקבוצות

B

ו-

C

.) חשבו את הגבול

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} .

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

גבולותפונקציות של שני משתנים

א. תהי

f (x)

פונקציה גזירה פעמיים בקטע

[0, 1]

כך ש־

f (0) = f (1)

ו־

∣ f^{''} (x) ∣ \leq A

לכל

0 \leq x \leq 1

. הוכיחו כי

∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{A}{2}

לכל

x \in [0, 1]

.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלא למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

תהי

f (x, y)

דיפרנציאבילית בנקודה

p_{0}

ומקיימת:

(D_{u} f) (p_{0}) = - 5

כאשר

u = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

;

(D_{v} f) (p_{0}) = 10

כאשר

v = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})

.
מצאו את הגרדיאנט של

f

בנקודה

p_{0}

.

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

תהי

f (x)

רציפה בכל אחד מהקטעים

(1, 2), (2, 3), (3, 4)

ומקיימת

∣ f (x) ∣ \leq 4

לכל

x \in [1, 4]

. הראו כי

\int_{1}^{4} \frac{f ( x )}{x ^{2}} d x \leq 3

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נוסחת טיילורנגזרותנגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםהוכחהחסימותאי-שוויונותאינטגרליםאינטגרביליות

נגדיר פונקציה

f : R^{2} \to R

על ידי

f (x, y) = x^{3} + y^{3} + x^{2} - 3 x y^{2}

לכל

(x, y) \in R^{2}

. מצאו את כל הנקודות הקריטיות של

f

, וקבעו לגבי כל אחת מהן אם היא נקודת מינימום מקומי, מקסימום מקומי או נקודת אוכף.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

נגזרות חלקיותפונקציות של שני משתניםהוכחה

א. מצאו את כל הערכים של הפרמטר

a

עבורם הטור

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n + 2 - n - 2}{n ^{a}}

מתכנס.

ב.1 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שאינם למדו את הקורס בשנת הלימודים 2024.

נגדיר

f (x, y) = {\frac{x s i n y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

בדקו אם

f

דיפרנציאבילית ב-(0,0).

ב.2 סעיף זה מיועד רק לסטודנטים שלמדו את הקורס באחד מהסמסטרים 2024א, 2024ב, 2024ג בהם יחידה 7 (פונקציות בשני משתנים) הורדה מחומר הקורס.

השתמשו בפיתוח מקלורן של הפונקציה

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - c o s t}{t} d t

על מנת לחשב את

\int_{0}^{1} \frac{1 - c o s t}{t} d t

כך שהשגיאה לא תעלה על

1 0^{- 3}

.

הדרכה: להערכת השגיאה ניתן להסתמך על תכונה של טורים המקיימים את תנאי משפט לייבניץ.

הערה: האינטגרנד אמנם לא מוגדר עבור

t = 0

, אך

f (x)

מוגדרת היטב, בהתאם לסעיף 3.1.2 בספר הלימוד.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

טוריםבדיקת התכנסותפונקציות של שני משתניםגזירותנגזרות חלקיותגבולותטור חזקותמקלורןאינטגרליםשגיאת קירובטור לייבניץ

שאלת בונוס עבור תלמידים המשתייכים לקבוצה 28.

נסמן

A = {(x, y) \in R^{2} : y^{2} \leq x^{2} + 1}

ונגדיר פונקציה

f : R^{2} \to R

על ידי

f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}

לכל

(x, y) \in R^{2}

.
בכל אחד מהסעיפים הבאים מופיעה טענה, עליכם לקבוע האם מדובר בטענה נכונה או שאינה נכונה. תשובה נכונה תזכה ב-2 נקודות.

1.

A

קבוצה סגורה.
2.

A

קבוצה חסומה.
3. הפונקציה

f

דיפרנציאבילית.
4. לפונקציה

f

קיים מינימום בקבוצה

A

.
5. לפונקציה

f

קיים מינימום בקבוצה

\partial A

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן דוגמה · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

פונקציות של שני משתניםרציפותגזירותחסימות

יהיו

a, b, c > 0

. חשבו את הנפח של הקבוצה

E = {(x, y, z) \in R^{3} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1} .

[הערה: ניתן להשתמש בעובדה כי

E

היא קבוצת ז'ורדן חסומה]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםפונקציות של שני משתנים

יהיו

a, b, c > 0

. חשבו את הנפח של הקבוצה

E = {(x, y, z) \in R^{3} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1} .

[הערה: ניתן להשתמש בעובדה כי

E

היא קבוצת ז'ורדן חסומה].

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםפונקציות של שני משתנים

שאלת בונוס עבור תלמידים המשתייכים לקבוצה 28.

בכל אחד מהסעיפים הבאים מופיעה טענה, עליכם לקבוע האם מדובר בטענה נכונה או שאינה נכונה.

תהי

E \subseteq R^{2}

קבוצת ז'ורדן חסומה. נגדיר פונקציות

T : R^{2} \to R^{2}

על ידי

T (r, θ) = (e^{r} cos θ, e^{r} sin θ)

לכל

(r, θ) \in R^{2}

, ו-

S : (0, + \infty) \times R \to R^{2}

על ידי

S (x, y) = (\frac{1}{2} ln (x^{2} + y^{2}), arctan \frac{y}{x})

לכל

(x, y) \in (0, + \infty) \times R

.

[תזכורת: לכל

w \in R

מתקיים

cos (arctan w) = \frac{1}{1 + w ^{2}}

sin (arctan w) = \frac{w}{1 + w ^{2}}

.]

1.

T, S

דיפרנציאביליות. (א) נכון (ב) לא נכון.
2.

T

דיפאומורפיזם גזיר ברציפות. (א) נכון (ב) לא נכון.
3.

S

דיפאומורפיזם גזיר ברציפות. (א) נכון (ב) לא נכון.
4. הקבוצה

T^{- 1} (E)

היא קבוצת ז'ורדן חסומה. (א) נכון (ב) לא נכון.
5. הקבוצה

S^{- 1} (E)

היא קבוצת ז'ורדן חסומה. (א) נכון (ב) לא נכון.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

גזירותפונקציות של שני משתנים

א. נסחו את כלל השרשרת.

ב. תהי

g : R^{2} \to R

פונקציה דיפרנציאבילית ונגדיר

f : R^{2} ∖ {0} \to R

על ידי

f (x) = g (\frac{x}{∥ x ∥})

לכל

x \in R^{2} ∖ {0}

. הוכיחו כי

f

דיפרנציאבילית ב-

x

וחשבו את

d_{x} f (x)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

נגזרותגזירותפונקציות של שני משתניםהוכחה

שאלות פונקציות של שני משתנים באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא פונקציות של שני משתנים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא פונקציות של שני משתנים.