איך לתרגל שאלות התכנסות במידה שווה באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd תמצאו שאלות התכנסות במידה שווה באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות התכנסות במידה שווה יש באינפי 2 / חדו"א 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות התכנסות במידה שווה באינפי 2 / חדו"א 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על התכנסות במידה שווה לקראת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2?

התכנסות במידה שווה הוא אחד הנושאים המרכזיים באינפי 2 / חדו"א 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא התכנסות במידה שווה הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אינפי 2 / חדו"א 2 - התכנסות במידה שווה

אינטגרלים וטורים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של סדרות

רמת קושי:

יהי

α

מספר אי-רציונלי. בכל אחד מהמקרים הבאים, הוכיחו כי, לכל

x \in R

N \to \infty lim \frac{1}{N} n = 0 \sum N - 1 f (x + n α π) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) d t .

(א) (10 נקודות.)

f (x) = e^{ik x}

כאשר

k \in Z

.

(ב) (7 נקודות.)

f (x) = \sum_{k = - m}^{m} a_{k} e^{ik x}

פולינום טריגונומטרי, כלומר,

f

הוא סכום סופי של אקספוננציאלים מרוכבים, כאשר

m \in N

ו-

a_{k} \in C

.

(ג) (10 נקודות.)

f \in C (T)

, כלומר,

f : R \to C

רציפה ומקיימת

f (x + 2 π) = f (x)

לכל

x \in R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הוכחהרציפותגבולותחסימותאי-שוויונותטור פורייההתכנסות במידה שווה

א. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n l n n} x^{n}

מתכנס במידה שווה בתחום התכנסותו.

ב. מצאו את כל הפונקציות

f (x)

אינטגרביליות בקטע

[0, t]

לכל

0 < t

ומקיימות

\int_{0}^{t} f (x) d x = cos t

לכל

0 < t

, או הסבירו מדוע לא קיימת פונקציה

f (x)

כזו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור חזקותהתכנסות במידה שווהרדיוס התכנסותבדיקת התכנסותאינטגרליםאינטגרביליותגבולותחסימותהוכחה

תהי

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

סדרת פונקציות על

R

. נניח כי טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

מתכנס במידה שווה על

R

. הוכיחו כי הסדרה

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת במידה שווה על

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

התכנסות במידה שווהטור פונקציותסדרת פונקציההוכחה

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. אם

f (x)

מוגדרת בקטע

[- 2025, 2025]

ורציפה ב־

x = 0

, אז סדרת הפונקציות

(f (\frac{x}{n}))_{n = 1}^{\infty}

מתכנסת במידה שווה בקטע

[- 2025, 2025]

.

ב. אם

f (x)

אינטגרבילית ב־

[0, t]

לכל

0 < t

והפונקציה

F (t) = \int_{0}^{t} f (x) d x

חסומה ב־

[0, \infty)

, אז האינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהרציפותהוכחה

א. חשבו את האינטגרל

\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{5} + x ^{2} + 1 + a r c s i n x}{x ^{2} + 1} d x

.

ב. תהי

(a_{n})

סדרת מספרים אי-שליליים עבורה הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ln (1 + n x)

מתכנס לכל

x \in [0, 1]

. נגדיר פונקציה

f (x)

בקטע

[0, 1]

על-ידי

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ln (1 + n x)

. הוכיחו שאם הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n a _{n}}{1 + n x}

מתכנס עבור כל

x \in [0, 1]

וסכומו פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

, אז

f (x)

גזירה ב-

[0, 1]

ולכל

x \in [0, 1]

מתקיים

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n a _{n}}{1 + n x}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרליםאינטגרציה בחלקיםפונקציה זוגית ואי-זוגיתטור פונקציותגזירותהתכנסות במידה שווההוכחהמשפט דיני

נסמן ב-

f : R \to R

את הפונקציה ה-

2 π

-מחזורית שמקיימת

f (t) = e^{t}

לכל

- π \leq t < π

. קבעו האם

{S_{N} f}_{N = 1}^{\infty}

מתכנס במידה שווה ב-

R

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

טור פורייההתכנסות במידה שווההוכחה

א. קבעו אם האינטגרל הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:

\int_{0}^{\infty} \frac{s i n ( 3 x ) \cdot c o s ( x ^{2} )}{x ^{3}} d x

.

ב. תהי

(f_{n} (x))

סדרה של פונקציות המוגדרות באופן הבא:

f_{1} (x) = 1

ולכל

n \geq 1

ו־

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) tan x

. הראו שהסדרה

(f_{n} (x))

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, \frac{π}{4}]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אינטגרלים לא אמיתייםהתכנסות בהחלטבדיקת התכנסותסדרת פונקציותהתכנסות במידה שווההוכחה

א. תהי

f (x)

פונקציה רציפה וחיובית בקטע

(0, \infty)

. נגדיר

g (x) = \frac{\int _{0}^{x} t f ( t ) d t}{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}

לכל

x > 0

.
הראו כי

g (x)

מוגדרת היטב לכל

x > 0

ולא יורדת ב-

(0, \infty)

.

(למי ששכח: פונקציה לא יורדת מוגדרת בהגדרה 1.14)

ב. בדקו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 0}^{\infty} (ln x)^{n}

מתכנס במידה שווה בקטע

[\frac{2}{e ^{2}}, 2]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהבדיקת התכנסותטורים

א. הראו שאם

f (x)

פונקציה רציפה ב-

R

ואי-זוגית (כלומר,

f (- x) = - f (x)

לכל

x

), אז לכל

a \in R

האינטגרל הבלתי מסוים

F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

הוא פונקציה זוגית (כלומר,

F_{a} (- x) = F_{a} (x)

לכל

x

).

ב. קבעו אם טור הפונקציות

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{( n + 1 ) s i n \frac{x}{n + 1} - n s i n \frac{x}{n}}{x})

מתכנס במידה שווה בקטע

[1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

גזירותאינטגרליםהוכחהטור פונקציותהתכנסות במידה שווהסדרת פונקציותבדיקת התכנסות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

א. סדרת הפונקציות

f_{n} (x) = n^{3} x^{n} (1 - x)^{4}

מתכנסת במידה שווה בקטע

[0, 1]

.

ב. אם

f (x)

רציפה בקטע

(0, \infty]

והאינטגרל

\int_{0}^{\infty} f (x) d x

מתכנס, אז האינטגרל

\int_{2}^{\infty} \frac{f ( x )}{ln x} d x

מתכנס.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

סדרת פונקציותהתכנסות במידה שווהגזירותאינטגרלים לא אמיתייםבדיקת התכנסות

שאלות התכנסות במידה שווה באינפי 2 / חדו"א 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באינפי 2 / חדו"א 2 בנושא התכנסות במידה שווה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא התכנסות במידה שווה.