איך לתרגל שאלות חד-חד-ערכיות במתמטיקה בדידה?

באתר prepd תמצאו שאלות חד-חד-ערכיות במתמטיקה בדידה ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת תל אביב, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות חד-חד-ערכיות יש במתמטיקה בדידה?

באתר prepd יש עשרות שאלות חד-חד-ערכיות במתמטיקה בדידה ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על חד-חד-ערכיות לקראת מבחן במתמטיקה בדידה?

חד-חד-ערכיות הוא אחד הנושאים המרכזיים במתמטיקה בדידה. תרגול שאלות ממבחנים בנושא חד-חד-ערכיות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

מתמטיקה בדידה - חד-חד-ערכיות

לוגיקה, תורת הקבוצות, קומבינטוריקה וגרפים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של פונקציות

רמת קושי:

הגדרות: נקודה (במישור) היא איבר של

R \times R

. שיעור ה-

x

של נקודה

⟨ u, v ⟩

הוא המספר

u

, ושיעור ה-

y

שלה הוא המספר

v

. נקודה

⟨ u, v ⟩

היא אי-רציונלית, אם

u, v \in R ∖ Q

.

א. יהיו

a < b

מספרים ממשיים, ותהי

f : (a, b) \to R

חח"ע. הגרף של

f

הוא הקבוצה

G = {⟨ x, y ⟩ \in R \times R ∣ x \in (a, b) \land y = f (x)}

הוכיחו:
1) (9 נק') קבוצת כל הנקודות, ששייכות ל-

G

ושיעור ה-

y

שלהן רציונלי, היא בת-מניה.
2) (9 נק') יש אינסוף נקודות אי-רציונליות ששייכות ל-

G

.

ב. (9 נק') הוכיחו או הפריכו:
על כל מעגל שמרכזו בראשית הצירים נמצאות אינסוף נקודות אי-רציונליות. (תוכלו להיעזר בסעיף א'.)
(להזכירכם: מעגל שמרכזו בראשית הצירים הוא קבוצה מהצורה

C = {⟨ x, y ⟩ \in R \times R ∣ x^{2} + y^{2} = r^{2}}

, כאשר

r \in (0, \infty)

.
נקודה

⟨ a, b ⟩

נמצאת על מעגל

C

אם"ם

⟨ a, b ⟩ \in C

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 84 · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קבוצותפונקציותבת-מניהעוצמותהוכחהחד-חד-ערכיות

הוכיחו/הפריכו:

א. נגדיר

f : P (N) \times P (N) \to P (N \times N)

על ידי:

\forall A, B \in P (N) : f (A, B) = A \times B

אזי

f

חח"ע.

ב. קיימת פונקציה חח"ע

f : P (N) \times P (N) \to P (N \times N)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותמכפלה קרטזיתהוכחה

תהי

A

קבוצה, ותהי

f : A \to A

פונקציה. נגדיר פונקציה

g : P (A) \to P (A)

על ידי:

\forall B \in P (A) : g (B) := f^{- 1} [B]

הוכיחו

g

חח"ע

⟺

f

על.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותפונקציות עלהוכחה

הוכח/הפרך: כל אחד מה-

3

הבאים:

א. תהי

A

קבוצה ותהי

f : A \to A

פונקציה המקיימת

f \circ f = f

. אזי:

i.

f

חח"ע

⟸

f

על.

ii.

f

על

⟸

f

חח"ע.

ב. תהי

A

קבוצה ותהי

f : A \to A

פונקציה. אזי

(f \circ f \circ f = f \circ f) ⟸ (f \circ f = f)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותפונקציות עלהוכחה

עבור קבוצה

E

ותתי קבוצות שלה

A, B \subseteq E

, נגדיר את הפונקציה

Δ_{A, B}^{(E)} : E \to {0, 1, 2}

כך:

Δ_{A, B}^{(E)} = λ x \in E . ⎩ ⎨ ⎧ 120 x \in A ∖ B x \in B ∖ A אחרת

תהיינה קבוצות

X, Y

. נגדיר פונקציה

H

באופן הבא:

H = λ ⟨ A, B ⟩ \in P (X) \times P (Y) . Δ_{A, B}^{(X \cup Y)}

מצאו תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-

H

תהיה פונקציה חח"ע. הוכיחו שהתנאי אכן הכרחי, כלומר: הוכיחו שאם

H

חח"ע, התנאי שכתבתם אכן מתקיים. אין צורך להוכיח שהתנאי מספיק.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן סמסטר ב מועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

קבוצותפונקציותחד-חד-ערכיות

תהיינה

A, B, C

קבוצות ויהיו שני יחסים

T \subseteq A \times B

S \subseteq B \times C

. הוכיחו או הפריכו: אם

S \circ T

הוא פונקציה מ-

A

ל-

C

S

פונקציה מ-

B

ל-

C

, ו-

T

לא חד-ערכי, אז

S

לא פונקציה חד-חד-ערכית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן סמסטר ב מועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

יחסיםפונקציותהרכבת יחסיםחד-חד-ערכיות

תהי

f : N \to N

פונקציה. הוכיחו/הפריכו את הבאים:

א. לכל

A, B \subseteq N

שונות מתקיים

f^{- 1} [A], f^{- 1} [B]

שונות

⟸

f

חח"ע.

ב. לכל

A, B \subseteq N

שונות מתקיים

f^{- 1} [A], f^{- 1} [B]

שונות

⟸

f

על.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותפונקציות עלהוכחה

תהי

f : A \to A

פונקציה כך שמתקיים

f \circ f = f

וגם

f \neq = i d_{A}

. אלו מהטענות הבאות נכונות? אם הטענה נכונה, הוכיחו אותה. אם לא, הביאו דוגמא נגדית.

א)

f

בהכרח אינה חח"ע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה העבריתמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותהוכחה

נגדיר פונקציה:

H = λ X \in P (N) ∖ {\emptyset} . λ f \in N \to N . a \in X ⋃ {f (a)}

הוכיחו או הפריכו: לכל קבוצה

X \in P (N) ∖ {\emptyset}

, מתקיים ש-

H (X)

חח"ע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמבחן סמסטר א מועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותקבוצות

תהי

A

קבוצה, ותהי

f : A \to A

פונקציה. נגדיר פונקציה

g : P (A) \to P (A)

על ידי:

\forall B \in P (A) : g (B) := f^{- 1} [B]

הוכיחו הפריכו:

א.

g

על

⟸

f

על.

ב.

g

על

⟸

f

חח"ע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

פונקציותחד-חד-ערכיותפונקציות עלהוכחה

שאלות חד-חד-ערכיות במתמטיקה בדידה עם פתרונות

שאלות תרגול במתמטיקה בדידה בנושא חד-חד-ערכיות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת תל אביב, אוניברסיטת בר-אילן, האוניברסיטה העברית. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא חד-חד-ערכיות.