איך לתרגל שאלות מרחב בנך באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות מרחב בנך באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מרחב בנך יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות מרחב בנך באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מרחב בנך לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

מרחב בנך הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מרחב בנך הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - מרחב בנך

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב נורמי

רמת קושי:

א. יהי

B

מרחב בנך. הוכיחו: אם המרחב הצמוד

B^{*}

ספרבילי אז גם

B

ספרבילי.

ב. יהי

A \in L (H)

אופרטור נורמלי. הראו כי

∥ A^{2} ∥ = ∥ A ∥^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימרחב בנךספרביליותאופרטורים חסומיםאופרטור נורמלינורמת אופרטורמרחב הילברטהוכחה

יהי

M

תת-מרחב של מרחב בנך

C [0, 1]

המורכב מכל הפונקציות

f \in C [0, 1]

עבורן קיים וסופי

lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}

. נגדיר

A : M \to C [0, 1]

על-ידי:

A f (t) = {\frac{f ( t )}{t} lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}, t \neq = 0, t = 0

א. הוכיחו כי

A

אופרטור סגור.

ב. נגדיר את הקבוצות הבאות של וקטורים במרחב

ℓ^{\infty}

U_{1}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שונים מ-

0

;

U_{2}

היא קבוצת של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שווים ל-

0

;

U_{3}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן סכום האיברים שווה ל-

0

(כסכום טור אינסופי).
לגבי כל אחת מהקבוצות האלה קבעו אם היא מהווה תת-מרחב סגור של

ℓ^{\infty}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]מרחב בנךרציפותסדרותהוכחה

א. יהי

K

אופרטור קומפקטי במרחב בנך

B

ונניח ש-

I - K

חד-חד-ערכי.
הוכיחו כי אם

S \subseteq B

והקבוצה

{(I - K) x : x \in S}

חסומה אז

S

חסומה.

ב. בהינתן מרחב הילברט

H

, נסמן ב-

ℓ^{2} (H)

את המרחב הווקטורי של כל הסדרות

{x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

עם

x_{k} \in H

המקיימות

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ x_{k} ∥^{2} < \infty

. לכל שני ווקטורים

x, y \in ℓ^{2} (H)

נגדיר:

⟨ x, y ⟩ = k = 1 \sum \infty ⟨ x_{k}, y_{k} ⟩

כאשר

x = {x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

y = {y_{k}}_{k = 1}^{\infty}

.

בדקו כי ביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

ℓ^{2} (H)

והוכיחו כי

ℓ^{2} (H)

המצויד במכפלה זו הוא מרחב הילברט.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטמרחב מכפלה פנימיתחסימותהוכחהמרחבי לפמרחב בנךסדרות

א. נגדיר קבוצת וקטורים ב-

ℓ^{2}

על-ידי:

x_{1} = (β, 0, 0, \dots), x_{2} = (α, β, 0, \dots), x_{3} = (0, α, β, 0, \dots), x_{4} = (0, 0, α, β, 0, \dots),

כאשר

0 < β < ∣ α ∣

.
הוכיחו כי

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

בסיס שאודר של

ℓ^{2}

.

הדרכה: אחת מהדרכים האפשריות מתבססת על הטענה הבאה:
אם סדרה

{x_{n}}

היא בסיס שאודר של

B

ו-

A \in L (B)

אופרטור הפיך, אז הסדרה

{A x_{n}}

היא בסיס שאודר של

B

.
אם ברצונכם להשתמש בטענה זו – הוכיחו אותה.

ב. הוכיחו כי אם

T

אופרטור חיובי במרחק הילברט אז

I + T

הפיך.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים חסומיםאופרטור הרמיטיספקטרוםמרחב בנךמרחב הילברטהוכחהמרחבי לפ

א. תהי

{x_{n}}_{n = 1}^{k}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים

c > 0

כך ש- לכל

{α_{n}}_{n = 1}^{k} \subset C

מתקיים:

∥ α_{1} x_{1} + \dots + α_{k} x_{k} ∥ \geq c (∣ α_{1} ∣ + \dots + ∣ α_{k} ∣) .

ב. יהי

A : B_{1} \to B_{2}

אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי

D (A) = B_{1}

).
הוכיחו כי

Im A

סגור אם ורק אם קיים

m > 0

כך ש-

∥ x ∥ \leq m ∥ A x ∥

לכל

x \in B_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2021 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמינורמהאופרטורים חסומיםמשפט ההעתקה הפתוחהמשפט הגרף הסגורמרחב בנךהוכחהקומפקטיות

יהיו

V

מרחב מכפלה פנימית,

U

מרחב ליניארי ו-

T : V \to U

אופרטור ליניארי חד-חד-ערכי. לכל

x, y \in U

גדיר

⟨ x, y ⟩_{U} := ⟨ T x, T y ⟩_{V}

.

א. בדקו שביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

U

.
הוכיחו כי

T

חסום כאשר מרחב

U

מצויד במכפלה זו ומצאו את

∥ T ∥

.

ב. יהיו

(A, (\cdot, \cdot)_{B})

מרחב בנך,

Y

מרחב בנך ו-

(A_{n}) \in L (B, Y)

. לכל

x \in B

קיימת סדרת קושי

{A_{n} x}

. הראו כי

(A_{n})

סדרה חסומה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתנורמת אופרטוראופרטורים חסומיםמשפט בנך-שטינהאוסמרחב בנך

א. יהי

A \in L (H)

ויחד כי הטור

\sum_{n = 0}^{\infty} ∥ A^{n} ∥

מתכנס.
הוכיחו כי

σ (A) \subseteq {z : ∥ z ∥ < 1}

(שימו לב: מדובר בהכלה ממש).

ב. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית. הראו כי אם

x, y \in E

שונים מאפס ומקיימים

∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥

אז קיים

α > 0

קיים כך ש-

y = α x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

ספקטרוםמרחב בנךמרחב מכפלה פנימיתאופרטורים חסומיםהוכחה

גדיר קבוצות:

X = {f \in C [0, 1] : f (0) = 0}

ו-

Y = {f \in C [0, 1] : \int_{0}^{1} f (t) d t = 0}

.

א. הראו שהקבוצות

X

ו-

Y

, המצויידות בנורמה הרגילה של

C [0, 1]

, הן מרחבי בנך.

ב. הראו כי לכל

f \in C [0, 1]

מתקיים

d (f, X) = ∣ f (0) ∣

ו-

d (f, Y) = \int_{0}^{1} f (t) d t

.

ג. הוכיחו כי אם

f

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

ו-

f (0) \neq = 0

, אז קיים פונקציונל

F \in C [0, 1]^{*}

כך ש-

∥ F ∥ = 1

F (f) = ∣ f (0) ∣

ו-

F (g) = 0

לכל

g \in X

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב C[a,b]פונקציונל לינארימשפט האן-בנךמרחב בנךמרחב דואלירציפות

א. תנו דוגמה של אופרטור ליניארי

T : ℓ_{2} \to ℓ_{2}

כך ש-

T

לא קומפקטי אך

T^{2} = 0

.

ב. סמנו ב-

K (X, Y)

אוסף של כל האופרטורים הקומפקטיים ממרחב בנך

X

למרחב בנך

Y

עם הפעולות הסטנדרטיות של חיבור אופרטורים וכפל אופרטור בסקלר.
הוכיחו כי

K (X, Y)

מרחב בנך ביחס לנורמה של אופרטורים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב בנךנורמת אופרטוראופרטורים חסומיםהוכחהדוגמה נגדית

א. יהי

B

מרחב בנך. הוכיחו: אם המרחב הצמוד

B^{*}

ספרבילי אז גם

B

ספרבילי.

ב. יהיו

P

אופרטור הטלה אורתוגונלית ו-

U

אופרטור אוניטרי במרחב הילברט

H

. גדיר

Q = U^{- 1} P U : H \to H

. הוכיחו כי

Q

אופרטור הטלה אורתוגונלית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב דואלימשפט האן-בנךהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב בנךמרחב הילברטהתכנסות

שאלות מרחב בנך באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא מרחב בנך ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מרחב בנך.