א. יהי δt פונקציונל במרחב C[a,b] המוגדר בדוגמה בסעיף 6.4: בהינתן t∈[a,b] לכל f∈C[a,b], δt(f)=f(t). הוכיחו כי לכל t∈[a,b) הנוסחה F(f)=limx→tf(x) מגדירה פונקציונל לינארי שהוא הרחבה שומרת נורמה של δt לתת-מרחב V של המרחב L∞[a,b], המורכב מכל הפונקציות של L∞[a,b] עבורן הגבול הנ"ל קיים.
ב. יהיו A,B:H→H אופרטורים לינאריים חסומים במרחב הילברט (באמירה זו טמונה ההנחה שתחום הגדרתם הוא המרחב כולו). הוכיחו או הפריכו על-ידי דוגמה נגדית את הטענה הבאה: אם AB אופרטור הפיך אז גם BA הפיך.
ב. יהי A:D(A)→Y אופרטור לינארי, כאשר D(A)⊆X, X ו-Y מרחבים נורמיים. נניח כי Im A סגור ב-Y וקיים m>0 כך ש- ∥Ax∥≥m∥x∥ לכל x∈D(A). הוכיחו כי A אופרטור סגור.
א. יהי T אופרטור לינארי במרחב נורמי X שמקיים את התנאי הבא: לכל סדרה {xn}n=1∞⊂X שעבורה הטור ∑n=1∞∥xn∥ מתכנס, הסדרה {Txn}n=1∞ חסומה. הוכיחו כי T אופרטור חסום.
ב. הוכיחו כי בכל מרחב הילברט ספרבילי אינסוף ממדי H קיימת קבוצת וקטורים {xn}n=1∞ כך ש- ∥xn∥=1 לכל n ו- ⟨xn,x⟩→0 לכל x∈H.
א. יהי E מרחב מכפלה פנימית ו- B={u∈E:∥u∥≤1} הוא כדור היחידה ב- E. הראו שאם {xn}n=1∞⊆B ו- {yn}n=1∞⊆B, ⟨xn,yn⟩→1 ומתקיים xn−yn→0, אז xn→yn.
ב. נגדיר A∈L(C[0,1]) על-ידי:
(Af)(x)=g(x)f(x),
כאשר g(x) פונקציה רציפה ב- [0,1]. מצאו את σ(A).
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב
★★★★★
מרחב מכפלה פנימיתספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]הוכחה
א. השלימו את משפט 5.15: הוכיחו כי הקבוצות {φj}, {ψj} ו-{αj} ממשפט 5.15 מוגדרות באופן חד-משמעי על-ידי אופרטור קומפקטי A — והן מערכות בסיסיות של האופרטורים A∗A ו-AA∗ בהתאמה, כאשר {φj} ו-{ψj} הן מערכות בסיסיות של ℓ2.
ב. יהיו X,Y מרחבים נורמיים, C∈L(X,Y) ו-A:D(A)→Y אופרטור סגור כאשר D(A)⊆X. הוכיחו כי A+C אופרטור סגור.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א
שאלות אופרטורים לינאריים באנליזה פונקציונלית עם פתרונות
שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא אופרטורים לינאריים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטורים לינאריים.