איך לתרגל שאלות אופרטורים חסומים באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטורים חסומים באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטורים חסומים יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטורים חסומים באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטורים חסומים לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

אופרטורים חסומים הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטורים חסומים הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - אופרטורים חסומים

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים לינאריים

רמת קושי:

א. יהי

B

מרחב בנך. הוכיחו: אם המרחב הצמוד

B^{*}

ספרבילי אז גם

B

ספרבילי.

ב. יהי

A \in L (H)

אופרטור נורמלי. הראו כי

∥ A^{2} ∥ = ∥ A ∥^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימרחב בנךספרביליותאופרטורים חסומיםאופרטור נורמלינורמת אופרטורמרחב הילברטהוכחה

לכל

f \in L^{1} [- π, π]

ולכל

n \in Z

נגדיר

α_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- in x} d x

ונסמן

a = (α_{0}, α_{1}, α_{- 1}, \dots, α_{n}, α_{- n}, \dots)

.

(א) הוכיחו כי

a \in c_{0}

.

(ב) נגדיר

F : L^{1} [- π, π] \to c_{0}

על-ידי

F (f) = a

.

הוכיחו כי

F

אופרטור לינארי חסום ומצאו את

∥ F ∥

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2022 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחבי לפהתכנסותאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורפונקציונל לינאריסדרות

א. הראו שאם

S, T \in L (H)

אופרטורים צמודים לעצמם ו-

0 \leq S

אז

0 \leq T S T

.

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם לכל

0 < ε

קיים

δ > 0

כך שלכל

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

שמקיימים

∥ x - y ∥ \geq ε

מתקיים

\frac{1}{2} (x + y) \leq 1 - δ

.
הוכיחו כי

X

קמור במידה שווה אם ורק אם מכך שסדרות

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות לכל

n

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

ו-

\frac{1}{2} (x_{n} + y_{n}) \to 1

נובע

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטימרחב הילברטמרחב נורמיהוכחהקבוצות קמורותאופרטורים חסומים

(א) אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור לינארי חסום

A

מוגדרים במרחב בנך

B

.

כמו כן, נניח ש-

A

חד-חד-ערכי ומעתיק את

B

על עצמו.

הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.

(ב) האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםספקטרוםקבוצות פתוחות וסגורותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינארימרחבי לפהוכחה

אופרטור לינארי

K : C [0, 1] \to C [0, 1]

מוגדר על-ידי:

(K f) (t) = \int_{0}^{t} f (s) d s, t \in [0, 1] .

א. הראו כי

K

חסום ומצאו את

∥ K ∥

.

ב. הוכיחו כי

K

חד-חד-ערכי ומצאו את

Im K \to [0, 1]

וכן

K^{- 1} : Im K \to C [0, 1]

המוגדר בסעיף הקודם.

ג. האם האופרטור

K^{- 1}

המוגדר בסעיף הקודם הוא חסום?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורמרחב C[a,b]רציפות

א. אופרטור לינארי

A

נקרא נילפוטנטי (nilpotent) אם קיים

n

טבעי כך ש-

A^{n} = 0

.
הראו כי

σ (A) = {0}

לכל אופרטור נילפוטנטי

A \in L (H)

(מדובר במרחב מרוכב

H

).

ב. יהי

f

פונקציונל לינארי במרחב וקטורי מרוכב

V

.
הוכיחו כי אם

f (V) \neq = C

אז

f (V) = {0}

(כאשר, כרגיל,

f (V) = {f (v) : v \in V}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד א | 2021 סמסטר ב מועד א

★★★★★

ספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים חסומיםפונקציונל לינארימרחב דואליהוכחה

א. נגדיר קבוצת וקטורים ב-

ℓ^{2}

על-ידי:

x_{1} = (β, 0, 0, \dots), x_{2} = (α, β, 0, \dots), x_{3} = (0, α, β, 0, \dots), x_{4} = (0, 0, α, β, 0, \dots),

כאשר

0 < β < ∣ α ∣

.
הוכיחו כי

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

בסיס שאודר של

ℓ^{2}

.

הדרכה: אחת מהדרכים האפשריות מתבססת על הטענה הבאה:
אם סדרה

{x_{n}}

היא בסיס שאודר של

B

ו-

A \in L (B)

אופרטור הפיך, אז הסדרה

{A x_{n}}

היא בסיס שאודר של

B

.
אם ברצונכם להשתמש בטענה זו – הוכיחו אותה.

ב. הוכיחו כי אם

T

אופרטור חיובי במרחק הילברט אז

I + T

הפיך.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים חסומיםאופרטור הרמיטיספקטרוםמרחב בנךמרחב הילברטהוכחהמרחבי לפ

א. תהי

{x_{n}}_{n = 1}^{k}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים

c > 0

כך ש- לכל

{α_{n}}_{n = 1}^{k} \subset C

מתקיים:

∥ α_{1} x_{1} + \dots + α_{k} x_{k} ∥ \geq c (∣ α_{1} ∣ + \dots + ∣ α_{k} ∣) .

ב. יהי

A : B_{1} \to B_{2}

אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי

D (A) = B_{1}

).
הוכיחו כי

Im A

סגור אם ורק אם קיים

m > 0

כך ש-

∥ x ∥ \leq m ∥ A x ∥

לכל

x \in B_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2021 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמינורמהאופרטורים חסומיםמשפט ההעתקה הפתוחהמשפט הגרף הסגורמרחב בנךהוכחהקומפקטיות

א. בהינתן

y \in L_{2} [0, 1]

, פתרו את המשוואה

x (t) - 3 \int_{0}^{1} (s + t) x (s) d s = y (t) .

ב. יהי

A : D (A) \to Y

אופרטור לינארי, כאשר

D (A) \subseteq X

X

ו-

Y

מרחבים נורמיים.
נניח כי

Im A

סגור ב-

Y

וקיים

m > 0

כך ש-

∥ A x ∥ \geq m ∥ x ∥

לכל

x \in D (A)

.
הוכיחו כי

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםמרחבי לפהוכחהאופרטור הרמיטי

א. יהי

T

אופרטור לינארי במרחב נורמי

X

שמקיים את התנאי הבא:
לכל סדרה

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset X

שעבורה הטור

\sum_{n = 1}^{\infty} ∥ x_{n} ∥

מתכנס, הסדרה

{T x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

חסומה.
הוכיחו כי

T

אופרטור חסום.

ב. הוכיחו כי בכל מרחב הילברט ספרבילי אינסוף ממדי

H

קיימת קבוצת וקטורים

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

כך ש-

∥ x_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

⟨ x_{n}, x ⟩ \to 0

לכל

x \in H

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםבסיס אורתונורמלימרחב הילברטהוכחה

שאלות אופרטורים חסומים באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא אופרטורים חסומים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטורים חסומים.