איך לתרגל שאלות מרחב C[a,b] באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות מרחב C[a,b] באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מרחב C[a,b] יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות מרחב C[a,b] באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מרחב C[a,b] לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

מרחב C[a,b] הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מרחב C[a,b] הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - מרחב C[a,b]

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב נורמי

רמת קושי:

יהי

M

תת-מרחב של מרחב בנך

C [0, 1]

המורכב מכל הפונקציות

f \in C [0, 1]

עבורן קיים וסופי

lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}

. נגדיר

A : M \to C [0, 1]

על-ידי:

A f (t) = {\frac{f ( t )}{t} lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}, t \neq = 0, t = 0

א. הוכיחו כי

A

אופרטור סגור.

ב. נגדיר את הקבוצות הבאות של וקטורים במרחב

ℓ^{\infty}

U_{1}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שונים מ-

0

;

U_{2}

היא קבוצת של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שווים ל-

0

;

U_{3}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן סכום האיברים שווה ל-

0

(כסכום טור אינסופי).
לגבי כל אחת מהקבוצות האלה קבעו אם היא מהווה תת-מרחב סגור של

ℓ^{\infty}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]מרחב בנךרציפותסדרותהוכחה

אופרטור לינארי

K : C [0, 1] \to C [0, 1]

מוגדר על-ידי:

(K f) (t) = \int_{0}^{t} f (s) d s, t \in [0, 1] .

א. הראו כי

K

חסום ומצאו את

∥ K ∥

.

ב. הוכיחו כי

K

חד-חד-ערכי ומצאו את

Im K \to [0, 1]

וכן

K^{- 1} : Im K \to C [0, 1]

המוגדר בסעיף הקודם.

ג. האם האופרטור

K^{- 1}

המוגדר בסעיף הקודם הוא חסום?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורמרחב C[a,b]רציפות

א. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית ו-

B = {u \in E : ∥ u ∥ \leq 1}

הוא כדור היחידה ב-

E

.
הראו שאם

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subseteq B

ו-

{y_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subseteq B

⟨ x_{n}, y_{n} ⟩ \to 1

ומתקיים

x_{n} - y_{n} \to 0

, אז

x_{n} \to y_{n}

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי:

(A f) (x) = g (x) f (x),

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.
מצאו את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]הוכחה

תהי

{φ_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מערכת אורתונורמלית במרחב

L^{2} [0, 1]

.

א. הוכיחו כי לכל

x \in [0, 1]

מתקיים:

n = 1 \sum \infty \int_{0}^{x} φ_{n} (t) d t^{2} \leq x

ב. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
(i) מרחב

L_{\infty} [a, b]

ספרביל.
(ii) קבוצה של כל הפונקציות הרציפות ב-

[a, b]

צפופה במרחב

L_{\infty} [a, b]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד ב | 2019 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

בסיס אורתונורמלימרחבי לפמרחב C[a,b]אורתוגונליותספרביליותהוכחהדוגמה נגדית

גדיר קבוצות:

X = {f \in C [0, 1] : f (0) = 0}

ו-

Y = {f \in C [0, 1] : \int_{0}^{1} f (t) d t = 0}

.

א. הראו שהקבוצות

X

ו-

Y

, המצויידות בנורמה הרגילה של

C [0, 1]

, הן מרחבי בנך.

ב. הראו כי לכל

f \in C [0, 1]

מתקיים

d (f, X) = ∣ f (0) ∣

ו-

d (f, Y) = \int_{0}^{1} f (t) d t

.

ג. הוכיחו כי אם

f

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

ו-

f (0) \neq = 0

, אז קיים פונקציונל

F \in C [0, 1]^{*}

כך ש-

∥ F ∥ = 1

F (f) = ∣ f (0) ∣

ו-

F (g) = 0

לכל

g \in X

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב C[a,b]פונקציונל לינארימשפט האן-בנךמרחב בנךמרחב דואלירציפות

א. יהיו

M_{1}, M_{2}

תת-מרחבים של מרחבי הילברט

H_{1}, H_{2}

בהתאמה, יהי

T \in L (H_{1}, H_{2})

ויחי

M_{2}

תת-מרחב סגור. הוכיחו כי

T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subseteq M_{1}^{⊥}

אם ורק אם

T (M_{1}) \subseteq M_{2}

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדקו כי

C (R)

מהווה מרחב בנך, והראו כי אופרטור ליניארי

T

במרחב זה המוגדר על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

לקבוע

x_{0} \in R

מהווה אופרטור אוניטרי במרחב זה. הראו כי

T

אופרטור ליניארי אוניטרי בתת-מרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטריאופרטור צמודהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחב בנךמרחב C[a,b]אופרטורים חסומיםהוכחה

א. יהיו

A_{j k} \in L (H)

לכל

j, k = 1, 2

.

נגדיר

K : H \oplus H \to H \oplus H

על-ידי

K = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})

.

הוכח כי

K

קומפקטי אם ורק אם

A_{j k}

קומפקטיים לכל

j, k = 1, 2

.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב-

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.

בדוק ש-

C (R)

הוא מרחב בנך. נקבע

x_{0} \in R

ונגדיר

T

אופרטור לינארי על-ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

.

הראה כי

T

אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטהטלה אורתוגונליתאופרטור אוניטרימרחב בנךנורמת אופרטורהוכחהמרחב C[a,b]

א. יהיו

x, y

וקטורים במרחב מכפלה פנימית מרוכב.

הראה כי

x ⊥ y

אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

לכל

α \in C

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי

(A f) (x) = g (x) f (x)

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.

מצא את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתאורתוגונליותספקטרוםערכים עצמייםמרחב C[a,b]אופרטורים לינארייםהוכחה

א. בהינתן

y \in L^{2} [0, 1]

, פתור את המשוואה

x (t) - 3 \int_{0}^{t} (s + t) x (s) d s = y (t) .

ב. יהי

A : D (A) \to Y

אופרטור לינארי, כאשר

X, Y

מרחבים נורמיים,

D (A) \subseteq X

.
נניח כי Im

A

סגור ב-

Y

וקיים

m > 0

כך ש-

∥ A x ∥ \geq m ∥ x ∥

לכל

x \in D (A)

.
הוכח כי

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטורים קומפקטייםמרחב C[a,b]מרחבי לפהוכחהרציפות

א. יהי

δ_{t}

פונקציונל במרחב

C [a, b]

המוגדר בדוגמה שבסעיף 6.4: בהינתן

t \in [a, b]

, לכל

f \in C [a, b]

מתקיים

δ_{t} (f) = f (t)

.

הוכח כי

F (f) = lim_{x \to t^{-}} f (x)

לכל

t \in (a, b]

מגדירה פונקציונל לינארי שהוא הרחבה שומרת נורמה של

δ_{t}

לתת-מרחב

V

של המרחב

L_{\infty} [a, b]

, המורכב מכל הפונקציות של

L_{\infty} [a, b]

עבורן הגבול הנ"ל קיים.

ב. יהי

A \in L (H)

אופרטור נורמלי. הראה כי

∥ A^{2} ∥ = ∥ A ∥^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךמרחב C[a,b]מרחבי לפאופרטורים לינארייםנורמת אופרטורהוכחה

שאלות מרחב C[a,b] באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא מרחב C[a,b] ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מרחב C[a,b].