איך לתרגל שאלות משפט הגרף הסגור באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות משפט הגרף הסגור באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות משפט הגרף הסגור יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות משפט הגרף הסגור באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על משפט הגרף הסגור לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

משפט הגרף הסגור הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא משפט הגרף הסגור הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - משפט הגרף הסגור

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

א. תהי

{x_{n}}_{n = 1}^{k}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים

c > 0

כך ש- לכל

{α_{n}}_{n = 1}^{k} \subset C

מתקיים:

∥ α_{1} x_{1} + \dots + α_{k} x_{k} ∥ \geq c (∣ α_{1} ∣ + \dots + ∣ α_{k} ∣) .

ב. יהי

A : B_{1} \to B_{2}

אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי

D (A) = B_{1}

).
הוכיחו כי

Im A

סגור אם ורק אם קיים

m > 0

כך ש-

∥ x ∥ \leq m ∥ A x ∥

לכל

x \in B_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2021 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמינורמהאופרטורים חסומיםמשפט ההעתקה הפתוחהמשפט הגרף הסגורמרחב בנךהוכחהקומפקטיות

א. יהי

A

אופרטור ליניארי במרחב הילברט מרוכב כך ש-

A^{2}

קומפקטי וצמוד לעצמו.
הוכיחו כי ל-

A

יש ערך עצמי, ובדקו כי וקטורים עצמיים של

A

השייכים לערכים עצמיים

μ

ו-

λ^{2}

אורתוגוניים זה לזה כאשר

λ^{2} \neq = μ^{2}

.

ב. יהי

B

מרחב בך

B = C [0, 1]

, וקיים

A \in L (B, C [0, 1])

שלכל

u \in B

שלכל

u \in B

יחידה הפוכה

A u

בעלת נגזרת רציפה ב-

[0, 1]

.
הוכיחו כי קיים קבוע

c > 0

כך ש-

(A u)^{'} (x) \leq c ∥ u ∥

לכל

x \in [0, 1]

ולכל

u \in B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםאורתוגונליותמשפט הגרף הסגוראופרטורים חסומיםהוכחה

א. יהיו

S, T \in L (H)

כך ש-

T^{*} T \leq S^{*} S

.
הוכיחו כי אם

T

קומפקטי אז גם

S

קומפקטי.

ב. יהיו

X, Y, Z

מרחבי בנך. יהי

B \in L (Y, Z)

אופרטור חד-חד-ערכי ויהי

A : X \to Y

אופרטור ליניארי (ברישום זה טמונה ההנחה ש-

D (A) = X

).
הוכיחו כי אם

B A

אופרטור חסום אז גם

A

חסום.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםאופרטור צמודמשפט הגרף הסגורמרחב בנךמרחב הילברט

א. תן דוגמה של אופרטור לינארי

T : ℓ^{2} \to ℓ^{2}

כך ש-

T

לא קומפקטי אך

T^{2} = 0

.

ב. יהיו

X, Y, Z

מרחבי בנך. יהי

B \in L (Y, Z)

אופרטור חד-חד-ערכי ויהי

A : X \to Y

אופרטור לינארי (ברישום זה טמונה ההנחה ש-

D (A) = X

).

הוכח כי אם

B A

אופרטור חסום אז גם

A

חסום.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטורים קומפקטייםמשפט הגרף הסגורמרחב בנךדוגמה נגדיתהוכחה

שאלה 5

א. יהי

A

אופרטור לינארי במרחב הילברט מרוכב כך ש-

A^{2}

קומפקטי וצמוד לעצמו.
הוכח כי ל-

A

יש ערך עצמי, ובדוק כי וקטורים עצמיים של

A

השייכים לערכים עצמיים

λ

ו-

μ

אורתוגונליים זה לזה כאשר

λ^{2} \neq = μ^{2}

.

ב. יהי

B

מרחב בנך,

[0, 1]

, ו-

A \in L (B, C [0, 1])

, כך שלכל

u \in B

הפונקציה

A u

בעלת נגזרת רציפה ב

[0, 1]

.
הוכח כי קיים קבוע

c

כך ש-

(A u)^{'} (x) \leq c ∥ u ∥

לכל

x \in [0, 1]

ולכל

u \in B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2013 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודערכים עצמייםספקטרוםאורתוגונליותמרחב הילברטהוכחהמרחב בנךאופרטורים חסומיםמשפט הגרף הסגורהתכנסות במידה שווהמרחב C[a,b]

שאלות משפט הגרף הסגור באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא משפט הגרף הסגור ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משפט הגרף הסגור.