איך לתרגל שאלות אופרטורים קומפקטיים באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטורים קומפקטיים באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטורים קומפקטיים יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטורים קומפקטיים באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטורים קומפקטיים לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

אופרטורים קומפקטיים הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטורים קומפקטיים הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - אופרטורים קומפקטיים

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים לינאריים

רמת קושי:

יהי

A_{n}

אופרטור לינארי במרחב

ℓ^{2}

ההופך את הסדר של

n

הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר:

A_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - 1}, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots) = (ξ_{n}, ξ_{n - 1}, \dots, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{n + 1}, \dots)

א. האם

A_{n}

צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי?

ב. מצאו את הערכים העצמיים של

A_{n}

והראו כי עבור

λ \neq = \pm 1

מתקיים:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

ג. האם הסדרה

{A_{n}}

מתכנסת נקודתית ב-

ℓ^{2}

? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א | 2022 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור אוניטריאופרטורים קומפקטייםערכים עצמייםספקטרוםנורמת אופרטורהתכנסות נקודתיתמרחבי לפ

א. יהי

K

אופרטור קומפקטי במרחב בנך

B

ונניח ש-

I - K

חד-חד-ערכי.
הוכיחו כי אם

S \subseteq B

והקבוצה

{(I - K) x : x \in S}

חסומה אז

S

חסומה.

ב. בהינתן מרחב הילברט

H

, נסמן ב-

ℓ^{2} (H)

את המרחב הווקטורי של כל הסדרות

{x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

עם

x_{k} \in H

המקיימות

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ x_{k} ∥^{2} < \infty

. לכל שני ווקטורים

x, y \in ℓ^{2} (H)

נגדיר:

⟨ x, y ⟩ = k = 1 \sum \infty ⟨ x_{k}, y_{k} ⟩

כאשר

x = {x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

y = {y_{k}}_{k = 1}^{\infty}

.

בדקו כי ביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

ℓ^{2} (H)

והוכיחו כי

ℓ^{2} (H)

המצויד במכפלה זו הוא מרחב הילברט.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטמרחב מכפלה פנימיתחסימותהוכחהמרחבי לפמרחב בנךסדרות

יהי

K

אופרטור לינארי קומפקטי צמוד לעצמו במרחב הילברט

H

.

במרחב

H \oplus H

נגדיר את האופרטור

A = (0 K K 0)

.

(א) הוכיחו כי

A

קומפקטי וצמוד לעצמו.

(ב) הוכיחו כי

∥ A ∥ = ∥ K ∥

.

(ג) בטאו את הערכים העצמיים ואת הווקטורים העצמיים של

A

על-ידי הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של

K

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2022 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםמרחב הילברטאופרטור צמודנורמת אופרטור

(א) אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור לינארי חסום

A

מוגדרים במרחב בנך

B

.

כמו כן, נניח ש-

A

חד-חד-ערכי ומעתיק את

B

על עצמו.

הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.

(ב) האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםספקטרוםקבוצות פתוחות וסגורותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינארימרחבי לפהוכחה

א. יהי

M

תת-מרחב של מרחב בנך

B

. נסמן

A = {f \in B^{*} : M \subseteq Ker f}

.
הוכיחו ש-

\overline{M} = ⋂_{f \in A} Ker f

.

ב. יהיו

A_{j k} \in L (H)

כאשר

j, k = 1, 2

.
נגדיר

K : H \oplus H \to H \oplus H

על-ידי

K = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})

.
הוכיחו כי

K

קומפקטי אם ורק אם

A_{j k}

קומפקטיים לכל

j, k = 1, 2

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב דואליפונקציונל לינארימשפט האן-בנךאופרטורים קומפקטייםהטלה אורתוגונליתהוכחה

א. תנו דוגמה של אופרטור ליניארי

T : ℓ_{2} \to ℓ_{2}

כך ש-

T

לא קומפקטי אך

T^{2} = 0

.

ב. סמנו ב-

K (X, Y)

אוסף של כל האופרטורים הקומפקטיים ממרחב בנך

X

למרחב בנך

Y

עם הפעולות הסטנדרטיות של חיבור אופרטורים וכפל אופרטור בסקלר.
הוכיחו כי

K (X, Y)

מרחב בנך ביחס לנורמה של אופרטורים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב בנךנורמת אופרטוראופרטורים חסומיםהוכחהדוגמה נגדית

א. השלימו את משפט 5.15:
הוכיחו כי הקבוצות

{φ_{j}}

{ψ_{j}}

ו-

{α_{j}}

ממשפט 5.15 מוגדרות באופן חד-משמעי על-ידי אופרטור קומפקטי

A

— והן מערכות בסיסיות של האופרטורים

A^{*} A

ו-

A A^{*}

בהתאמה, כאשר

{φ_{j}}

ו-

{ψ_{j}}

הן מערכות בסיסיות של

ℓ_{2}

.

ב. יהיו

X, Y

מרחבים נורמיים,

C \in L (X, Y)

ו-

A : D (A) \to Y

אופרטור סגור כאשר

D (A) \subseteq X

.
הוכיחו כי

A + C

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודספקטרוםאופרטורים לינארייםהוכחההתכנסות

א. יהי

A

אופרטור ליניארי במרחב הילברט מרוכב כך ש-

A^{2}

קומפקטי וצמוד לעצמו.
הוכיחו כי ל-

A

יש ערך עצמי, ובדקו כי וקטורים עצמיים של

A

השייכים לערכים עצמיים

μ

ו-

λ^{2}

אורתוגוניים זה לזה כאשר

λ^{2} \neq = μ^{2}

.

ב. יהי

B

מרחב בך

B = C [0, 1]

, וקיים

A \in L (B, C [0, 1])

שלכל

u \in B

שלכל

u \in B

יחידה הפוכה

A u

בעלת נגזרת רציפה ב-

[0, 1]

.
הוכיחו כי קיים קבוע

c > 0

כך ש-

(A u)^{'} (x) \leq c ∥ u ∥

לכל

x \in [0, 1]

ולכל

u \in B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםאורתוגונליותמשפט הגרף הסגוראופרטורים חסומיםהוכחה

א. יהיו

S, T \in L (H)

כך ש-

T^{*} T \leq S^{*} S

.
הוכיחו כי אם

T

קומפקטי אז גם

S

קומפקטי.

ב. יהיו

X, Y, Z

מרחבי בנך. יהי

B \in L (Y, Z)

אופרטור חד-חד-ערכי ויהי

A : X \to Y

אופרטור ליניארי (ברישום זה טמונה ההנחה ש-

D (A) = X

).
הוכיחו כי אם

B A

אופרטור חסום אז גם

A

חסום.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםאופרטור צמודמשפט הגרף הסגורמרחב בנךמרחב הילברט

א. במרחב

L^{2} [- π, π]

גדיר אופרטור

K

על-ידי:

(K f) (t) = \int_{- π}^{π} cos (t - s) f (s) d s

בדקו כי

K

צמוד לעצמו, קומפקטי ובעל דרגה סופית. האם

K

חיובי?
מצאו את ההצגה הספקטרלית של

K

.

ב. יהי

L

תת-מרחב של מרחב הילברט

H

.
הוכיחו כי

\overline{L} = H

אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: אם

y \in L^{⊥}

אז

y = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיספקטרוםערכים עצמייםמשפט הספקטרליאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחבי לפ

שאלות אופרטורים קומפקטיים באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא אופרטורים קומפקטיים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטורים קומפקטיים.