איך לתרגל שאלות רציפות באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות רציפות באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות רציפות יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות רציפות באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על רציפות לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

רציפות הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא רציפות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - רציפות

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

יהי

M

תת-מרחב של מרחב בנך

C [0, 1]

המורכב מכל הפונקציות

f \in C [0, 1]

עבורן קיים וסופי

lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}

. נגדיר

A : M \to C [0, 1]

על-ידי:

A f (t) = {\frac{f ( t )}{t} lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( t )}{t}, t \neq = 0, t = 0

א. הוכיחו כי

A

אופרטור סגור.

ב. נגדיר את הקבוצות הבאות של וקטורים במרחב

ℓ^{\infty}

U_{1}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שונים מ-

0

;

U_{2}

היא קבוצת של כל הסדרות החסומות בהן רק מספר סופי של איברים שווים ל-

0

;

U_{3}

היא קבוצה של כל הסדרות החסומות בהן סכום האיברים שווה ל-

0

(כסכום טור אינסופי).
לגבי כל אחת מהקבוצות האלה קבעו אם היא מהווה תת-מרחב סגור של

ℓ^{\infty}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]מרחב בנךרציפותסדרותהוכחה

אופרטור לינארי

K : C [0, 1] \to C [0, 1]

מוגדר על-ידי:

(K f) (t) = \int_{0}^{t} f (s) d s, t \in [0, 1] .

א. הראו כי

K

חסום ומצאו את

∥ K ∥

.

ב. הוכיחו כי

K

חד-חד-ערכי ומצאו את

Im K \to [0, 1]

וכן

K^{- 1} : Im K \to C [0, 1]

המוגדר בסעיף הקודם.

ג. האם האופרטור

K^{- 1}

המוגדר בסעיף הקודם הוא חסום?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורמרחב C[a,b]רציפות

גדיר קבוצות:

X = {f \in C [0, 1] : f (0) = 0}

ו-

Y = {f \in C [0, 1] : \int_{0}^{1} f (t) d t = 0}

.

א. הראו שהקבוצות

X

ו-

Y

, המצויידות בנורמה הרגילה של

C [0, 1]

, הן מרחבי בנך.

ב. הראו כי לכל

f \in C [0, 1]

מתקיים

d (f, X) = ∣ f (0) ∣

ו-

d (f, Y) = \int_{0}^{1} f (t) d t

.

ג. הוכיחו כי אם

f

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

ו-

f (0) \neq = 0

, אז קיים פונקציונל

F \in C [0, 1]^{*}

כך ש-

∥ F ∥ = 1

F (f) = ∣ f (0) ∣

ו-

F (g) = 0

לכל

g \in X

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב C[a,b]פונקציונל לינארימשפט האן-בנךמרחב בנךמרחב דואלירציפות

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t ^{3/4}} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור ליארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא תון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא תון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכיחו כי אם

σ (A) \cap C = \emptyset

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותקבוצות פתוחות וסגורותמרחבי לפהשלמה אורתוגונלית

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שים לב: לא נתון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכח כי אם

σ (A) \neq = C

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותמרחבי לפקבוצות פתוחות וסגורות

א. בהינתן

y \in L^{2} [0, 1]

, פתור את המשוואה

x (t) - 3 \int_{0}^{t} (s + t) x (s) d s = y (t) .

ב. יהי

A : D (A) \to Y

אופרטור לינארי, כאשר

X, Y

מרחבים נורמיים,

D (A) \subseteq X

.
נניח כי Im

A

סגור ב-

Y

וקיים

m > 0

כך ש-

∥ A x ∥ \geq m ∥ x ∥

לכל

x \in D (A)

.
הוכח כי

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטורים קומפקטייםמרחב C[a,b]מרחבי לפהוכחהרציפות

תהי

{φ_{n}}_{n = 1}^{\infty}

מערכת אורתונורמלית במרחב

L^{2} [0, 1]

.

א. הוכיחו כי לכל

x \in [0, 1]

מתקיים:

n = 1 \sum \infty \int_{0}^{x} φ_{n} (t) d t^{2} \leq x

ב. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
(i) מרחב

L_{\infty} [a, b]

ספרביל.
(ii) קבוצה של כל הפונקציות הרציפות ב-

[a, b]

צפופה במרחב

L_{\infty} [a, b]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד ב | 2019 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב הילברטמרחבי L_pמרחב C[a,b]אורתוגונליותהוכחההוכח או הפרךדוגמה נגדיתרציפותמרחב מטרי

שאלות רציפות באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא רציפות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא רציפות.