איך לתרגל שאלות ערכים עצמיים באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות ערכים עצמיים באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות ערכים עצמיים יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות ערכים עצמיים באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על ערכים עצמיים לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

ערכים עצמיים הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא ערכים עצמיים הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - ערכים עצמיים

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של ספקטרום

רמת קושי:

יהי

A_{n}

אופרטור לינארי במרחב

ℓ^{2}

ההופך את הסדר של

n

הרכיבים הראשונים ומשאיר את שאר הרכיבים ללא שינוי, כלומר:

A_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - 1}, ξ_{n}, ξ_{n + 1}, \dots) = (ξ_{n}, ξ_{n - 1}, \dots, ξ_{2}, ξ_{1}, ξ_{n + 1}, \dots)

א. האם

A_{n}

צמוד לעצמו? אוניטרי? קומפקטי?

ב. מצאו את הערכים העצמיים של

A_{n}

והראו כי עבור

λ \neq = \pm 1

מתקיים:

(λ I - A_{n})^{- 1} = \frac{1}{λ ^{2} - 1} (λ I + A_{n})

ג. האם הסדרה

{A_{n}}

מתכנסת נקודתית ב-

ℓ^{2}

? האם היא מתכנסת בנורמה של אופרטורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד א | 2015 סמסטר ב מועד א | 2018 סמסטר ב מועד א | 2022 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטור הרמיטיאופרטור אוניטריאופרטורים קומפקטייםערכים עצמייםספקטרוםנורמת אופרטורהתכנסות נקודתיתמרחבי לפ

יהי

K

אופרטור לינארי קומפקטי צמוד לעצמו במרחב הילברט

H

.

במרחב

H \oplus H

נגדיר את האופרטור

A = (0 K K 0)

.

(א) הוכיחו כי

A

קומפקטי וצמוד לעצמו.

(ב) הוכיחו כי

∥ A ∥ = ∥ K ∥

.

(ג) בטאו את הערכים העצמיים ואת הווקטורים העצמיים של

A

על-ידי הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של

K

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2022 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםמרחב הילברטאופרטור צמודנורמת אופרטור

א. אופרטור לינארי

A

נקרא נילפוטנטי (nilpotent) אם קיים

n

טבעי כך ש-

A^{n} = 0

.
הראו כי

σ (A) = {0}

לכל אופרטור נילפוטנטי

A \in L (H)

(מדובר במרחב מרוכב

H

).

ב. יהי

f

פונקציונל לינארי במרחב וקטורי מרוכב

V

.
הוכיחו כי אם

f (V) \neq = C

אז

f (V) = {0}

(כאשר, כרגיל,

f (V) = {f (v) : v \in V}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד א | 2021 סמסטר ב מועד א

★★★★★

ספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים חסומיםפונקציונל לינארימרחב דואליהוכחה

א. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית ו-

B = {u \in E : ∥ u ∥ \leq 1}

הוא כדור היחידה ב-

E

.
הראו שאם

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subseteq B

ו-

{y_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subseteq B

⟨ x_{n}, y_{n} ⟩ \to 1

ומתקיים

x_{n} - y_{n} \to 0

, אז

x_{n} \to y_{n}

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי:

(A f) (x) = g (x) f (x),

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.
מצאו את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]הוכחה

א. יהי

A

אופרטור ליניארי במרחב הילברט מרוכב כך ש-

A^{2}

קומפקטי וצמוד לעצמו.
הוכיחו כי ל-

A

יש ערך עצמי, ובדקו כי וקטורים עצמיים של

A

השייכים לערכים עצמיים

μ

ו-

λ^{2}

אורתוגוניים זה לזה כאשר

λ^{2} \neq = μ^{2}

.

ב. יהי

B

מרחב בך

B = C [0, 1]

, וקיים

A \in L (B, C [0, 1])

שלכל

u \in B

שלכל

u \in B

יחידה הפוכה

A u

בעלת נגזרת רציפה ב-

[0, 1]

.
הוכיחו כי קיים קבוע

c > 0

כך ש-

(A u)^{'} (x) \leq c ∥ u ∥

לכל

x \in [0, 1]

ולכל

u \in B

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםאורתוגונליותמשפט הגרף הסגוראופרטורים חסומיםהוכחה

א. יהי

A \in L (H)

אופרטור צמוד לעצמו. הוכיחו כי

λ

קודה רגולרית של

A

אם ורק אם קיים

c > 0

כך ש-

∥ (λ I - A) x ∥ \geq c ∥ x ∥

לכל

x \in H

.

ב. הראו כי הקבוצה

{\frac{2}{π} sin n x}_{n = 1}^{\infty}

מהווה בסיס אורתונורמלי של

L^{2} [0, π]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

ספקטרוםאופרטור הרמיטיערכים עצמייםבסיס אורתונורמלימרחב הילברטאופרטורים לינארייםמרחבי לפאורתוגונליות

א. במרחב

L^{2} [- π, π]

גדיר אופרטור

K

על-ידי:

(K f) (t) = \int_{- π}^{π} cos (t - s) f (s) d s

בדקו כי

K

צמוד לעצמו, קומפקטי ובעל דרגה סופית. האם

K

חיובי?
מצאו את ההצגה הספקטרלית של

K

.

ב. יהי

L

תת-מרחב של מרחב הילברט

H

.
הוכיחו כי

\overline{L} = H

אם ורק אם מתקיים התנאי הבא: אם

y \in L^{⊥}

אז

y = 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור הרמיטיספקטרוםערכים עצמייםמשפט הספקטרליאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתמרחב הילברטמרחבי לפ

א. יהיו

x, y

וקטורים במרחב מכפלה פנימית מרוכב.

הראה כי

x ⊥ y

אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

לכל

α \in C

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי

(A f) (x) = g (x) f (x)

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.

מצא את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתאורתוגונליותספקטרוםערכים עצמייםמרחב C[a,b]אופרטורים לינארייםהוכחה

א. הוכח כי לכל מרחב בנך ספרבילי

B

קיימת קבוצה בת-מנייה

S \subset B^{*}

כך שלכל

0 \neq = x \in B

קיים

f \in S

עבורו

f (x) \neq = 0

.

ב. יהי

K

אופרטור קומפקטי במרחב בנך

B

ונניח ש-

I - K

חד-חד-ערכי.
הוכח כי אם

S \subset B

והקבוצה

{(I - K) x : x \in S}

חסומה אז

S

חסומה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים חסומיםהוכחהמרחב בנך

א. השלימו את משפט 5.15:
הוכיחו כי הקבוצות

{φ_{j}}

{ψ_{j}}

ו-

{α_{j}}

ממשפט 5.15 מוגדרות באופן חד-משמעי על-ידי אופרטור קומפקטי

A

— והן מערכות בסיסיות של האופרטורים

A^{*} A

ו-

A A^{*}

בהתאמה, כאשר

{φ_{j}}

ו-

{ψ_{j}}

הן מערכות בסיסיות של

ℓ_{2}

.

ב. יהיו

X, Y

מרחבים נורמיים,

C \in L (X, Y)

ו-

A : D (A) \to Y

אופרטור סגור כאשר

D (A) \subseteq X

.
הוכיחו כי

A + C

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודערכים עצמייםהוכחהאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםמרחב נורמיאופרטור סגור

שאלות ערכים עצמיים באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא ערכים עצמיים ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא ערכים עצמיים.