איך לתרגל שאלות מרחב מכפלה פנימית באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות מרחב מכפלה פנימית באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מרחב מכפלה פנימית יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות מרחב מכפלה פנימית באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מרחב מכפלה פנימית לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

מרחב מכפלה פנימית הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מרחב מכפלה פנימית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - מרחב מכפלה פנימית

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב מכפלה פנימית

רמת קושי:

א. יהי

K

אופרטור קומפקטי במרחב בנך

B

ונניח ש-

I - K

חד-חד-ערכי.
הוכיחו כי אם

S \subseteq B

והקבוצה

{(I - K) x : x \in S}

חסומה אז

S

חסומה.

ב. בהינתן מרחב הילברט

H

, נסמן ב-

ℓ^{2} (H)

את המרחב הווקטורי של כל הסדרות

{x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

עם

x_{k} \in H

המקיימות

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ x_{k} ∥^{2} < \infty

. לכל שני ווקטורים

x, y \in ℓ^{2} (H)

נגדיר:

⟨ x, y ⟩ = k = 1 \sum \infty ⟨ x_{k}, y_{k} ⟩

כאשר

x = {x_{k}}_{k = 1}^{\infty}

y = {y_{k}}_{k = 1}^{\infty}

.

בדקו כי ביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

ℓ^{2} (H)

והוכיחו כי

ℓ^{2} (H)

המצויד במכפלה זו הוא מרחב הילברט.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםמרחב הילברטמרחב מכפלה פנימיתחסימותהוכחהמרחבי לפמרחב בנךסדרות

(א) הראו כי שני וקטורים

x, y

במרחב מכפלה פנימית מרוכב אורתוגונליים זה לזה אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

מתקיים לכל

α \in C

.

(ב) יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא נתון ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו).

הוכיחו כי אם

σ (A) \neq = C

(כלומר, קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

), אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אורתוגונליותמרחב מכפלה פנימיתאופרטורים לינארייםספקטרוםהוכחה

א. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית ו-

B = {u \in E : ∥ u ∥ \leq 1}

הוא כדור היחידה ב-

E

.
הראו שאם

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subseteq B

ו-

{y_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subseteq B

⟨ x_{n}, y_{n} ⟩ \to 1

ומתקיים

x_{n} - y_{n} \to 0

, אז

x_{n} \to y_{n}

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי:

(A f) (x) = g (x) f (x),

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.
מצאו את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתספקטרוםערכים עצמייםאופרטורים לינארייםמרחב C[a,b]הוכחה

א. תהי

P

הטלה אורתוגונלית על תת-מרחב סגור

M

של מרחב הילברט

H

, כאשר

M \neq = {0}

M \neq = H

.
מצאו את כל הערכים של מספרים מרוכבים

α, β

עבורם

α P + β I

הטלה אורתוגונלית (כאשר

I

הוא, כמובן, אופרטור הזהות ב-

H

).

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם מכך ש-

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

\frac{x _{n} + y _{n}}{2} \to 1

נובע ש-

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

.
הראו כי כל מרחב הילברט קמור במידה שווה,
ותנו דוגמה של מרחב נורמי דו-ממדי שאינו קמור במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתמרחב הילברטנורמהמרחב מכפלה פנימיתדוגמה נגדיתהוכחה

יהיו

V

מרחב מכפלה פנימית,

U

מרחב ליניארי ו-

T : V \to U

אופרטור ליניארי חד-חד-ערכי. לכל

x, y \in U

גדיר

⟨ x, y ⟩_{U} := ⟨ T x, T y ⟩_{V}

.

א. בדקו שביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

U

.
הוכיחו כי

T

חסום כאשר מרחב

U

מצויד במכפלה זו ומצאו את

∥ T ∥

.

ב. יהיו

(A, (\cdot, \cdot)_{B})

מרחב בנך,

Y

מרחב בנך ו-

(A_{n}) \in L (B, Y)

. לכל

x \in B

קיימת סדרת קושי

{A_{n} x}

. הראו כי

(A_{n})

סדרה חסומה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתנורמת אופרטוראופרטורים חסומיםמשפט בנך-שטינהאוסמרחב בנך

א. יהי

A \in L (H)

ויחד כי הטור

\sum_{n = 0}^{\infty} ∥ A^{n} ∥

מתכנס.
הוכיחו כי

σ (A) \subseteq {z : ∥ z ∥ < 1}

(שימו לב: מדובר בהכלה ממש).

ב. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית. הראו כי אם

x, y \in E

שונים מאפס ומקיימים

∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥

אז קיים

α > 0

קיים כך ש-

y = α x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

ספקטרוםמרחב בנךמרחב מכפלה פנימיתאופרטורים חסומיםהוכחה

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t ^{3/4}} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור ליארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא תון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא תון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכיחו כי אם

σ (A) \cap C = \emptyset

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותקבוצות פתוחות וסגורותמרחבי לפהשלמה אורתוגונלית

א. יהיו

x, y

וקטורים במרחב מכפלה פנימית מרוכב.

הראה כי

x ⊥ y

אם ורק אם

∥ x + α y ∥ = ∥ x - α y ∥

לכל

α \in C

.

ב. נגדיר

A \in L (C [0, 1])

על-ידי

(A f) (x) = g (x) f (x)

כאשר

g (x)

פונקציה רציפה ב-

[0, 1]

.

מצא את

σ (A)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתאורתוגונליותספקטרוםערכים עצמייםמרחב C[a,b]אופרטורים לינארייםהוכחה

שאלה 3

א. יהי

A \in L (H)

ונניח כי הטור

\sum_{n = 0}^{\infty} A^{n}

מתכנס.
הוכח כי

σ (A) \subseteq {z : ∣ z ∣ < 1}

(שים לב: מדובר בהכלה ממש).

ב. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית. הראה כי אם

x, y \in E

שונים מאפס ומקיימים

⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

, אז קיים

λ > 0

כך ש-

y = λ x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2013 · סמסטר ב

★★★★★

ספקטרוםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורהתכנסותמרחב מכפלה פנימיתנורמההוכחה

שאלה 2

א. הראה כי אם

S, T

אופרטורים לינאריים במרחב מכפלה פנימית כך ש-

S T - T S = I

(כאשר

I

אופרטור הזהות), אז לפחות אחד מבין האופרטורים

S, T

אינו חסום.

הדרכה: הוכח קודם כי לכל

n

מתקיים

S T^{n} - T^{n} S = n T^{n - 1}

.

ב. יהיו אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור הפיך

A

מוגדרים במרחב בנך מסוים.
הוכח כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.

הבהרה: "

A

הפיך" פירושו

A^{- 1}

מוגדר במרחב כולו וחסום.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2013 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורמרחב מכפלה פנימיתהוכחהאופרטורים קומפקטייםמרחב בנךהוכח או הפרך

שאלות מרחב מכפלה פנימית באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא מרחב מכפלה פנימית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מרחב מכפלה פנימית.