א. יהי δt פונקציונל במרחב C[a,b] המוגדר בדוגמה בסעיף 6.4: בהינתן t∈[a,b] לכל f∈C[a,b], δt(f)=f(t). הוכיחו כי לכל t∈[a,b) הנוסחה F(f)=limx→tf(x) מגדירה פונקציונל לינארי שהוא הרחבה שומרת נורמה של δt לתת-מרחב V של המרחב L∞[a,b], המורכב מכל הפונקציות של L∞[a,b] עבורן הגבול הנ"ל קיים.
ב. יהיו A,B:H→H אופרטורים לינאריים חסומים במרחב הילברט (באמירה זו טמונה ההנחה שתחום הגדרתם הוא המרחב כולו). הוכיחו או הפריכו על-ידי דוגמה נגדית את הטענה הבאה: אם AB אופרטור הפיך אז גם BA הפיך.
א. הראו שהקבוצות X ו-Y, המצויידות בנורמה הרגילה של C[0,1], הן מרחבי בנך.
ב. הראו כי לכל f∈C[0,1] מתקיים d(f,X)=∣f(0)∣ ו-d(f,Y)=∫01f(t)dt.
ג. הוכיחו כי אם f פונקציה רציפה ב-[0,1] ו-f(0)=0, אז קיים פונקציונל F∈C[0,1]∗ כך ש-∥F∥=1, F(f)=∣f(0)∣ ו-F(g)=0 לכל g∈X.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2019 · סמסטר ב
★★★★★
מרחב C[a,b]פונקציונל לינארימשפט האן-בנךמרחב בנךמרחב דואלירציפות
יהי X מרחב של כל הסדרות האינסופיות של מספרים מרוכבים שרק מספר סופי של איבריהן שונים מ-0, כלומר אם ξ1,ξ2,…∈X אז קיים N כך ש-ξk=0 לכל k≥N. הנורמה ב-X מוגדרת על-ידי ∥(ξ1,ξ2,…)∥=maxk∣ξk∣ (הנורמה של ℓ∞).
א. לכל n טבעי גדיר פונקציונל ליניארי fn במרחב X על-ידי fn(ξ1,ξ2,…)=nξn. בדקו כי supn∥fn∥=∞ אולם supn∣fn(x)∣<∞ לכל x∈X. מדוע עובדה זו אינה סותרת את עקרון החסימות במידה שווה?
ב. הראו כי המרחב הצמוד X∗ (כלומר, המרחב (L(X,C)) איזומורפי ל-ℓ1.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב
★★★★★
מרחב נורמימרחב בנךפונקציונל לינארימשפט בנך-שטינהאוסמרחב דואלימרחבי לפחסימות
א. האם התת-מרחב M={f(t)∈L2[1,∞):∫1∞t3/4f(t)dt=0} סגור ב-L2[1,∞)?
ב. יהי A אופרטור ליארי במרחב בנך B (שימו לב: לא תון מראש ש-A חסום, כמו כן – לא תון מראש שתחום הגדרתו של A הוא מרחב B כולו). הוכיחו כי אם σ(A)∩C=∅ כלומר, אם קיים λ∈C כך ש-(I−A)−1∈L(B) אז A אופרטור סגור.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב
★★★★★
מרחב מכפלה פנימיתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותקבוצות פתוחות וסגורותמרחבי לפהשלמה אורתוגונלית
שאלות פונקציונל לינארי באנליזה פונקציונלית עם פתרונות
שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא פונקציונל לינארי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא פונקציונל לינארי.