איך לתרגל שאלות נורמה באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות נורמה באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות נורמה יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות נורמה באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על נורמה לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

נורמה הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא נורמה הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - נורמה

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב נורמי

רמת קושי:

א. תהי

{x_{n}}_{n = 1}^{k}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים

c > 0

כך ש- לכל

{α_{n}}_{n = 1}^{k} \subset C

מתקיים:

∥ α_{1} x_{1} + \dots + α_{k} x_{k} ∥ \geq c (∣ α_{1} ∣ + \dots + ∣ α_{k} ∣) .

ב. יהי

A : B_{1} \to B_{2}

אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי

D (A) = B_{1}

).
הוכיחו כי

Im A

סגור אם ורק אם קיים

m > 0

כך ש-

∥ x ∥ \leq m ∥ A x ∥

לכל

x \in B_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2021 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמינורמהאופרטורים חסומיםמשפט ההעתקה הפתוחהמשפט הגרף הסגורמרחב בנךהוכחהקומפקטיות

א. תהי

P

הטלה אורתוגונלית על תת-מרחב סגור

M

של מרחב הילברט

H

, כאשר

M \neq = {0}

M \neq = H

.
מצאו את כל הערכים של מספרים מרוכבים

α, β

עבורם

α P + β I

הטלה אורתוגונלית (כאשר

I

הוא, כמובן, אופרטור הזהות ב-

H

).

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם מכך ש-

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

\frac{x _{n} + y _{n}}{2} \to 1

נובע ש-

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

.
הראו כי כל מרחב הילברט קמור במידה שווה,
ותנו דוגמה של מרחב נורמי דו-ממדי שאינו קמור במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתמרחב הילברטנורמהמרחב מכפלה פנימיתדוגמה נגדיתהוכחה

א. יהיו אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור ליארי הפיך

A

מוגדרים במרחב בנך מסוים. הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.
(הבהרה: "

A

הפיך" פירושו "הערה" פירוס

A^{- 1}

מוגדר במרחב כולו וחסום).

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם לכל

ε > 0

קיים

δ > 0

כך שלכל

x, y \in X

המקיימים

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x - y ∥ \geq ε

מתקיים

\frac{1}{2} (x + y) \leq 1 - δ

.
הוכיחו כי

X

קמור במידה שווה אם ורק אם מכך שסדרות

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

וגם

\frac{1}{2} (x_{n} + y_{n}) \to 1

ובעיות

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםמרחב בנךהוכחהקבוצות קמורותנורמהמרחב נורמי

א. הוכח כי אם

A \in L (H_{1}, H_{2})

מקיים

dim (Ker A) = d < \infty

אז

A

הוא בעל דרגה סופית, ו-

rank A \leq d

.

ב. הוכח כי אם במרחב נורמי

V

קיימים שני וקטורים

x, y

כך ש-

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x - y ∥ = 1

אז הקבוצה

S = {x \in V : ∥ x ∥ = 1}

(פני כדור היחידה) מכילה קטע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםקבוצות קמורותהוכחהנורמה

א. הראה שאם

S, T \in L (H)

אופרטורים צמודים לעצמם ו-

S \geq 0

T \geq 0

אז

T S T \geq 0

.

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם מכך שסדרות

x_{n}, y_{n} \in X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

∥ x_{n} + y_{n} ∥ \to 2

נובע ש-

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

.
הראה כי כל מרחב הילברט קמור במידה שווה,
ותן דוגמה של מרחב נורמי דו-ממדי שאינו קמור במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאופרטור הרמיטיאורתוגונליותנורמהמרחב נורמיהוכחהדוגמה נגדיתאופרטורים לינאריים

שאלה 3

א. יהי

A \in L (H)

ונניח כי הטור

\sum_{n = 0}^{\infty} A^{n}

מתכנס.
הוכח כי

σ (A) \subseteq {z : ∣ z ∣ < 1}

(שים לב: מדובר בהכלה ממש).

ב. יהי

E

מרחב מכפלה פנימית. הראה כי אם

x, y \in E

שונים מאפס ומקיימים

⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

, אז קיים

λ > 0

כך ש-

y = λ x

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2013 · סמסטר ב

★★★★★

ספקטרוםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורהתכנסותמרחב מכפלה פנימיתנורמההוכחה

א. יהיו

T, S \in L (H)

כך ש־

S^{*} S \leq T^{*} T

.
הוכח כי אם

T

קומפקטי אז גם

S

קומפקטי.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב־

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדוק ש־

C (R)

הוא מרחב בנך, ונגדיר

x_{0} \in R

ונגדיר

T

אופרטור לינארי על־ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

.
הראה כי

T

אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב בנךמרחב הילברטמרחב נורמינורמהאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודאופרטור אוניטריהתכנסות במידה שווההוכחה

יהי

X

מרחב של כל הסדרות האינסופיות של מספרים מרוכבים שרק מספר סופי של איבריהן שונים מ-0, כלומר אם

ξ_{1}, ξ_{2}, \dots \in X

אז קיים

N

כך ש-

ξ_{k} = 0

לכל

k \geq N

.
הנורמה ב-

X

מוגדרת על-ידי

∥ (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots) ∥ = max_{k} ∣ ξ_{k} ∣

(הנורמה של

ℓ_{\infty}

).

א. לכל

n

טבעי גדיר פונקציונל ליניארי

f_{n}

במרחב

X

על-ידי

f_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots) = n ξ_{n}

.
בדקו כי

sup_{n} ∥ f_{n} ∥ = \infty

אולם

sup_{n} ∣ f_{n} (x) ∣ < \infty

לכל

x \in X

.
מדוע עובדה זו אינה סותרת את עקרון החסימות במידה שווה?

ב. הראו כי המרחב הצמוד

X^{*}

(כלומר, המרחב

(L (X, C)

) איזומורפי ל-

ℓ^{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמינורמהפונקציונל לינארינורמת אופרטורמשפט בנך-שטינהאוסמרחב בנךמרחב דואליהוכחהסדרותחסימות

א. הוכח כי אם

A \in L (H_{1}, H_{2})

מקיים

dim ((Ker A)^{⊥}) = d < \infty

, אז

A

הוא בעל דרגה סופית, ו-

rank A \leq d

.

ב. הוכח כי אם במרחב נורמי

V

קיימים וקטורים בלתי תלויים לינארית

x, y

כך ש-

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥

, אז הקבוצה

S = {x \in V : ∥ x ∥ = 1}

(פני כדור היחידה) מכילה קטע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםהשלמה אורתוגונליתהוכחהמרחב נורמינורמהקבוצות קמורות

שאלות נורמה באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא נורמה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא נורמה.