איך לתרגל שאלות מרחב נורמי באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות מרחב נורמי באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מרחב נורמי יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות מרחב נורמי באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מרחב נורמי לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

מרחב נורמי הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מרחב נורמי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - מרחב נורמי

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב נורמי

רמת קושי:

א. הראו שאם

S, T \in L (H)

אופרטורים צמודים לעצמם ו-

0 \leq S

אז

0 \leq T S T

.

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם לכל

0 < ε

קיים

δ > 0

כך שלכל

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

שמקיימים

∥ x - y ∥ \geq ε

מתקיים

\frac{1}{2} (x + y) \leq 1 - δ

.
הוכיחו כי

X

קמור במידה שווה אם ורק אם מכך שסדרות

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות לכל

n

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

ו-

\frac{1}{2} (x_{n} + y_{n}) \to 1

נובע

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור הרמיטימרחב הילברטמרחב נורמיהוכחהקבוצות קמורותאופרטורים חסומים

א. תהי

{x_{n}}_{n = 1}^{k}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים

c > 0

כך ש- לכל

{α_{n}}_{n = 1}^{k} \subset C

מתקיים:

∥ α_{1} x_{1} + \dots + α_{k} x_{k} ∥ \geq c (∣ α_{1} ∣ + \dots + ∣ α_{k} ∣) .

ב. יהי

A : B_{1} \to B_{2}

אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי

D (A) = B_{1}

).
הוכיחו כי

Im A

סגור אם ורק אם קיים

m > 0

כך ש-

∥ x ∥ \leq m ∥ A x ∥

לכל

x \in B_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2021 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמינורמהאופרטורים חסומיםמשפט ההעתקה הפתוחהמשפט הגרף הסגורמרחב בנךהוכחהקומפקטיות

יהי

X

מרחב של כל הסדרות האינסופיות של מספרים מרוכבים שרק מספר סופי של איבריהן שונים מ-0, כלומר אם

ξ_{1}, ξ_{2}, \dots \in X

אז קיים

N

כך ש-

ξ_{k} = 0

לכל

k \geq N

.
הנורמה ב-

X

מוגדרת על-ידי

∥ (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots) ∥ = max_{k} ∣ ξ_{k} ∣

(הנורמה של

ℓ_{\infty}

).

א. לכל

n

טבעי גדיר פונקציונל ליניארי

f_{n}

במרחב

X

על-ידי

f_{n} (ξ_{1}, ξ_{2}, \dots) = n ξ_{n}

.
בדקו כי

sup_{n} ∥ f_{n} ∥ = \infty

אולם

sup_{n} ∣ f_{n} (x) ∣ < \infty

לכל

x \in X

.
מדוע עובדה זו אינה סותרת את עקרון החסימות במידה שווה?

ב. הראו כי המרחב הצמוד

X^{*}

(כלומר, המרחב

(L (X, C)

) איזומורפי ל-

ℓ^{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2012 סמסטר ב מועד ב | 2015 סמסטר ב מועד ב | 2018 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמימרחב בנךפונקציונל לינארימשפט בנך-שטינהאוסמרחב דואלימרחבי לפחסימות

א. יהיו אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור ליארי הפיך

A

מוגדרים במרחב בנך מסוים. הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.
(הבהרה: "

A

הפיך" פירושו "הערה" פירוס

A^{- 1}

מוגדר במרחב כולו וחסום).

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם לכל

ε > 0

קיים

δ > 0

כך שלכל

x, y \in X

המקיימים

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x - y ∥ \geq ε

מתקיים

\frac{1}{2} (x + y) \leq 1 - δ

.
הוכיחו כי

X

קמור במידה שווה אם ורק אם מכך שסדרות

{x_{n}} \subset X

{y_{n}} \subset X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

וגם

\frac{1}{2} (x_{n} + y_{n}) \to 1

ובעיות

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםמרחב בנךהוכחהקבוצות קמורותנורמהמרחב נורמי

א. הראה שאם

S, T \in L (H)

אופרטורים צמודים לעצמם ו-

S \geq 0

T \geq 0

אז

T S T \geq 0

.

ב. נאמר כי מרחב נורמי

X

קמור במידה שווה (uniformly convex) אם מכך שסדרות

x_{n}, y_{n} \in X

מקיימות

∥ x_{n} ∥ = ∥ y_{n} ∥ = 1

לכל

n

ו-

∥ x_{n} + y_{n} ∥ \to 2

נובע ש-

∥ x_{n} - y_{n} ∥ \to 0

.
הראה כי כל מרחב הילברט קמור במידה שווה,
ותן דוגמה של מרחב נורמי דו-ממדי שאינו קמור במידה שווה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2014 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאופרטור הרמיטיאורתוגונליותנורמהמרחב נורמיהוכחהדוגמה נגדיתאופרטורים לינאריים

יהיו

V

מרחב מכפלה פנימית,

U

מרחב ליניארי ו-

T : V \to U

אופרטור ליניארי חד-חד-ערכי. לכל

x, y \in U

גדיר

⟨ x, y ⟩_{U} := ⟨ T x, T y ⟩_{V}

.

א. בדקו שביטוי זה אכן מגדיר מכפלה פנימית במרחב

U

.
הוכיחו כי

T

חסום כאשר מרחב

U

מצויד במכפלה זו ומצאו את

∥ T ∥

.

ב. יהיו

(A, (\cdot, \cdot)_{B})

מרחב בנך,

Y

מרחב בנך ו-

(A_{n}) \in L (B, Y)

. לכל

x \in B

קיימת סדרת קושי

{A_{n} x}

. הראו כי

(A_{n})

סדרה חסומה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםנורמת אופרטורהוכחהמרחב בנךמרחב נורמימשפט בנך-שטינהאוססדרותחסימות

א. השלימו את משפט 5.15:
הוכיחו כי הקבוצות

{φ_{j}}

{ψ_{j}}

ו-

{α_{j}}

ממשפט 5.15 מוגדרות באופן חד-משמעי על-ידי אופרטור קומפקטי

A

— והן מערכות בסיסיות של האופרטורים

A^{*} A

ו-

A A^{*}

בהתאמה, כאשר

{φ_{j}}

ו-

{ψ_{j}}

הן מערכות בסיסיות של

ℓ_{2}

.

ב. יהיו

X, Y

מרחבים נורמיים,

C \in L (X, Y)

ו-

A : D (A) \to Y

אופרטור סגור כאשר

D (A) \subseteq X

.
הוכיחו כי

A + C

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2013 סמסטר ב מועד א | 2019 סמסטר ב מועד א

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודערכים עצמייםהוכחהאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםמרחב נורמיאופרטור סגור

א. יהיו

T, S \in L (H)

כך ש־

S^{*} S \leq T^{*} T

.
הוכח כי אם

T

קומפקטי אז גם

S

קומפקטי.

ב. יהי

C (R)

מרחב של כל הפונקציות הרציפות והחסומות ב־

R

עם נורמה

∥ f ∥ = sup_{x \in R} ∣ f (x) ∣

.
בדוק ש־

C (R)

הוא מרחב בנך, ונגדיר

x_{0} \in R

ונגדיר

T

אופרטור לינארי על־ידי

(T f) (x) = f (x - x_{0})

.
הראה כי

T

אופרטור לינארי אוניטרי במרחב זה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב בנךמרחב הילברטמרחב נורמינורמהאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםאופרטורים קומפקטייםאופרטור צמודאופרטור אוניטריהתכנסות במידה שווההוכחה

א. הוכח כי אם

A \in L (H_{1}, H_{2})

מקיים

dim ((Ker A)^{⊥}) = d < \infty

, אז

A

הוא בעל דרגה סופית, ו-

rank A \leq d

.

ב. הוכח כי אם במרחב נורמי

V

קיימים וקטורים בלתי תלויים לינארית

x, y

כך ש-

∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1

ו-

∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥

, אז הקבוצה

S = {x \in V : ∥ x ∥ = 1}

(פני כדור היחידה) מכילה קטע.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםהשלמה אורתוגונליתהוכחהמרחב נורמינורמהקבוצות קמורות

שאלות מרחב נורמי באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא מרחב נורמי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מרחב נורמי.