איך לתרגל שאלות קבוצות פתוחות וסגורות באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd תמצאו שאלות קבוצות פתוחות וסגורות באנליזה פונקציונלית ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות קבוצות פתוחות וסגורות יש באנליזה פונקציונלית?

באתר prepd יש עשרות שאלות קבוצות פתוחות וסגורות באנליזה פונקציונלית ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על קבוצות פתוחות וסגורות לקראת מבחן באנליזה פונקציונלית?

קבוצות פתוחות וסגורות הוא אחד הנושאים המרכזיים באנליזה פונקציונלית. תרגול שאלות ממבחנים בנושא קבוצות פתוחות וסגורות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אנליזה פונקציונלית - קבוצות פתוחות וסגורות

מרחבים מטריים, נורמיים ומרחבי הילברט, אופרטורים לינאריים ותורת הספקטרום

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מרחב מטרי

רמת קושי:

(א) אופרטור קומפקטי

K

ואופרטור לינארי חסום

A

מוגדרים במרחב בנך

B

.

כמו כן, נניח ש-

A

חד-חד-ערכי ומעתיק את

B

על עצמו.

הוכיחו כי

dim (Ker (A + K)) < \infty

וגם

codim (Im (A + K)) < \infty

.

(ב) האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטורים קומפקטייםאופרטורים חסומיםספקטרוםקבוצות פתוחות וסגורותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינארימרחבי לפהוכחה

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t ^{3/4}} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור ליארי במרחב בנך

B

(שימו לב: לא תון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא תון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכיחו כי אם

σ (A) \cap C = \emptyset

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב מכפלה פנימיתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותקבוצות פתוחות וסגורותמרחבי לפהשלמה אורתוגונלית

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שים לב: לא נתון מראש ש-

A

חסום, כמו כן – לא נתון מראש שתחום הגדרתו של

A

הוא מרחב

B

כולו). הוכח כי אם

σ (A) \neq = C

כלומר, אם קיים

λ \in C

כך ש-

(λ I - A)^{- 1} \in L (B)

אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2015 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטאורתוגונליותהשלמה אורתוגונליתפונקציונל לינאריאופרטורים חסומיםרציפותמרחבי לפקבוצות פתוחות וסגורות

א. תהי

{x_{n}}_{n = 1}^{k}

קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב נורמי מרוכב. הוכיחו כי קיים

c > 0

כך ש- לכל

{α_{n}}_{n = 1}^{k} \subset C

מתקיים:

∥ α_{1} x_{1} + \dots + α_{k} x_{k} ∥ \geq c (∣ α_{1} ∣ + \dots + ∣ α_{k} ∣) .

ב. יהי

A : B_{1} \to B_{2}

אופרטור לינארי סגור חד-חד-ערכי (מהרישום נובע כי

D (A) = B_{1}

).
הוכיחו כי

Im A

סגור אם ורק אם קיים

m > 0

כך ש-

∥ x ∥ \leq m ∥ A x ∥

לכל

x \in B_{1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

שאלה חוזרתהאוניברסיטה הפתוחה2014 סמסטר ב מועד ב | 2021 סמסטר ב מועד ב

★★★★★

מרחב נורמימרחב בנךאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםמשפט ההעתקה הפתוחהמשפט הגרף הסגורקבוצות פתוחות וסגורותהוכחה

א. נגדיר

U = {(ξ_{n}) \in ℓ_{2} : n = 1 \sum \infty n ∣ ξ_{n} ∣^{2} < \infty}

. בדוק כי

U

תת-מרחב לא סגור של

ℓ_{2}

ומצא את

\overline{U}

.

ב. יהיו

A, B \in L (H)

כאשר

H

מרחב הילברט, ותהי

λ

נקודה רגולרית עבור

A

וגם עבור

B

. הוכח כי

R_{λ} (A) - R_{λ} (B) = R_{λ} (A) (A - B) R_{λ} (B)

.

תזכורת:

(1)

R_{λ} (A) = (λ I - A)^{- 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2013 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטהתכנסותקבוצות פתוחות וסגורותסדרותאופרטורים לינארייםאופרטורים חסומיםספקטרוםהוכחה

א. האם התת-מרחב

M = {f (t) \in L^{2} [1, \infty) : \int_{1}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} d t = 0}

סגור ב-

L^{2} [1, \infty)

?

ב. יהי

A

אופרטור לינארי במרחב בנך

B

(שים לב: לא נתון מראש ש-

A

חסום). הוכח כי אם קיים

C

כך ש-

σ (A) \subset C

אז אם

(λ I - A)

בעל טווח צפוף ב-

B

לכל

λ \in / C

, אז

A

אופרטור סגור.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2012 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הילברטמרחבי לפפונקציונל לינאריקבוצות פתוחות וסגורותהוכחהאופרטורים לינארייםאופרטור סגורספקטרוםמרחב בנך

שאלות קבוצות פתוחות וסגורות באנליזה פונקציונלית עם פתרונות

שאלות תרגול באנליזה פונקציונלית בנושא קבוצות פתוחות וסגורות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא קבוצות פתוחות וסגורות.